第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性[A基础达标]1．函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为，则ω等于()A．5B．10C．15D．20解析：选B.由题意，知T＝＝，所以ω＝10.2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝sinD．y＝cos解析：选D.y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sinx|是偶函数；y＝sin＝cos2x是偶函数；y＝cos＝－sin2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.3．函数f(x)＝xsin()A．是奇函数B．是非奇非偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：选A.由题意，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又f(x)＝xsin＝xcosx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．4．函数y＝的奇偶性为()A．奇函数B．既是奇函数也是偶函数C．偶函数D．非奇非偶函数解析：选D.由题意知，1－sinx≠0，即sinx≠1，y＝＝|sinx|，所以函数的定义域为，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是()A.B.C．πD.解析：选C.要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.6．函数y＝3sin的最小正周期为________．解析：T＝＝π.答案：π7．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．解析：因为f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin0－|a|＝0，所以a＝0.答案：08．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(2017)＝________．解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以T＝3，f(2017)＝f(672×3＋1)＝f(1)＝2.答案：29．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝coscos(π＋x)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋.解：(1)因为x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin2x(－cosx)＝sin2xcosx，所以f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)函数应满足1－sinx≠0，所以函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，所以f(x)＝为非奇非偶函数．(3)由得cosx＝1，所以函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cosx＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．10．已知函数y＝sinx＋|sinx|，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.[B能力提升]11．已知f(x)＝cosx，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)的值为()A．－1B.C．－D．1解析：选B.因为f(1)＝cos＝，f(2)＝cos＝－，f(3)＝cosπ＝－1，f(4)＝cos＝－，f(5)＝cos＝，f(6)＝cos2π＝1.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.又f(x)的最小正周期为T＝＝6，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＋f(2017)＝336×0＋f(2017)＝cos＝cos＝.12．已知f(x)＝＋3，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________．解析：设g(x)＝，则g(－x)＝＝－＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．由f(5)＝－2得f(5)＝g(5)＋3＝－2，所以g(5)＝－5.所以f(－5)＝g(－5)＋3＝－g(5)＋3＝8.答案：813．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sinx，当x∈时，求f(x)的解析式．解：x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈.14．(选做题)已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．解：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数．(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
