2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第二课时平面与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列推理中错误的是()A．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βB．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βC．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析：因为当α⊥β时，α内垂直于α与β的交线的直线垂直于β，不是α内所有直线都垂直于β.答案：A2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面都垂直解析：因为直线a垂直于直线b，b不一定是平面β与α的交线，所以a不一定垂直于平面β.答案：C3．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则()A．l∥γB．lγC．l与γ斜交D．l⊥γ解析：在γ面内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，OE∩OF＝O，所以l⊥γ.答案：D4．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有()A．0条B．1条C．2条D．无数条解析：若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，P∉l，则下列结论中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．解析：由面面垂直的性质定理可知，只有②不正确．答案：①③④6．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3m,4m,1m，则P与墙角B的距离为________m.解析：过点P向各面作垂线，构成以BP为体对角线的长方体．答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，α⊥β，CDβ，CD⊥AB，ECα，EFα，∠FEC＝90°.求证：平面FED⊥平面DCE.证明：∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EFα，∴CD⊥EF.又∵FEC＝90°，∴EF⊥EC.又∵EC∩CD＝C，∴EF⊥平面DCE.又∵EF平面EFD，∴平面EFD⊥平面DCE.8.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)如图，连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG是菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.☆☆☆9．(10分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论．解析：PA与BD垂直．证明如下：如图，取BC的中点O，连接PO、AO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，所以PA与BD相互垂直．
