§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x)．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0(a，b)(a，b)f(c)＝0()下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解：易知函数f(x)＝2x＋x3－2单调递增， f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f(x)在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B.()已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.B.C．(1，2)D．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象．如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故＜k＜1.故选B.方程lnx＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解：构造函数f(x)＝lnx＋2x－8，∴f′(x)＝＋2＞0(x＞0)，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－6＜0，f(2)＝ln2－4＜0，f(3)＝ln3－2＜0，f(4)＝ln4＞0，∴f(x)的唯一零点在(3，4)内，因此k＝3.故填3.()已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(x2)＋f(k－x)只有一个零点，则实数k的值是________．解：由f(x2)＋f(k－x)＝0得f(x2)＝－f(k－x)，因为f(x)是奇函数，有－f(k－x)＝f(x－k)，故有f(x2)＝f(x－k)，又f(x)是R上的单调函数，所以方程x2＝x－k即x2－x＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k＝，故填.类型一判断函数零点所在的区间()已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)解：f(x)在(0，＋∞)为减函数，又f(1)＝6＞0，f(2)＝2＞0，f(4)＝－2＝－＜0.故选C.【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f(a)·f(b)<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．()函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(1，e)和(3，4)D．(e，＋∞)解： f′(x)＝＋＞0(x＞0)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－＞0，f(2)＝ln2－1＜0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.类型二零点个数的判断()已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数即为函数y＝f(x)与y＝1－g(x)交点个数及函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)交点个数之和，而y＝1－g(x)＝作图易知函数y＝f(x)与y＝1－g(x)有两个交点，又y＝－1－g(x)＝作图易知函数y＝f(x)与y＝－1－g(x)有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a，b]上满足f(a)·f(b)＜0时，函数在(a，b)内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a，b)内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复...
