求异面直线距离的常用方法 学法指导 不分版本VIP免费

求异面直线距离的常用方法陈广跃求异面直线的距离是立体几何的一个难点，主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们克服这一难点，本文介绍两种求异面直线距离的常用方法，望能达到拓宽思路、扩大视野的目的。一.直接法直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。例1.如图1所示，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC//D1B，且平面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求异面直线AB11与AC之间的距离。图1解：连结DB，设DB交AC于点O由题设知ABCDABCD1111是正四棱柱则AAABCDAAACAAAB11111底面，即，而所以AA1是异面直线AB11与AC的公垂线段由题意分析知∠为平面与底面DOEEACABCD所成的角则∠DOE=45°又∵截面EAC//D1B，且平面D1BD与平面EAC的交线为EO∴D1B//EO，∠DBD1=∠DOE=45°∴D1D=DB=2a∵AA1=D1D∴异面直线A1B1与AC之间的距离为2a二.间接法间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。（1）线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。例2.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。解：如图2所示，连结A1D由AB//DC，得AB//平面A1DC故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离又平面A1D平面A1DC及平面A1DAB故可在平面A1D内过A作AEA1D于点E则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。由ADAAADAE··11用心爱心专心115号编辑1可得AE125图2（2）面面距离法面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。例3.如图3所示，正方体ABCDABCD1111的棱长为1，求异面直线A1D与AC间的距离。图3解：连结ACCDABBCADAC11111、、、，与分别在两个相互平行的平面ADC11和BCA1内，则A1D与AC间的距离就是两个相互平行的平面A1DC1和B1CA之间的距离。连结BD，且交AC于点O，作OO1平面AC交平面A1C1于O1连结DO1，作OEDO1于E可知OE为两平行平面A1DC1和B1CA之间的距离在Rt△DOO1中，OODODO1112262，，。∴·OEOODODO1133∴异面直线A1D与AC间的距离为33练一练：如图4所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DB1与AC间的距离。用心爱心专心115号编辑2图4用心爱心专心115号编辑3