滚动复习2\s\up7()一、选择题(每小题5分，共35分)1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB可以表示为(C)A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j解析：记O为坐标原点，则OA＝2i＋3j，OB＝4i＋2j，所以AB＝OB－OA＝2i－j.2．在如图所示的平面图形中，e1、e2为互相垂直的单位向量，则向量a＋b－c可表示为(A)A．e1－2e2B．－e1＋2e2C．3e1－2e2D．3e1＋2e2解析：由题图可知a＝c＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，所以a＋b－c＝b＝e1－2e2.故选A．3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝(A)A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)解析：设C(x，y)，∵A(0,1)，AC＝(－4，－3)，∴解得∴C(－4，－2)，又B(3,2)，∴BC＝(－7，－4)，选A．4．设向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b＝(A)A．B．2C．1D．解析：a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)．∵a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)·3＝4(2－x)，∴x＝.∴a·b＝(1,2)×(，1)＝1×＋2×1＝.5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角是(C)A．B．C．D．解析：由a·(b－a)＝2，得a·b－a·a＝2，即a·b＝3，所以a与b夹角的余弦值为＝，所以a与b的夹角为，故选C．6．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO·BC的值等于(D)A．－8B．－1C．1D．8解析：取BC的中点D，连接OD，AD，则OD·BC＝0且AO＋OD＝AD，即AO＝AD－OD.∵AD＝(AB＋AC)，∴AO·BC＝AD·BC－OD·BC＝AD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝×(52－32)＝8.故选D．7．(多选)在平面直角坐标系中，已知三点A(a,2)，B(3，b)，C(2,3)，O为坐标原点．若向量OB⊥AC，则a2＋b2的取值可能是(BCD)A．B．C．12D．18解析：由题意得OB＝(3，b)，AC＝(2－a,1)，∵向量OB⊥AC，∴OB·AC＝3(2－a)＋b＝0，∴b＝3a－6，a2＋b2＝10a2－36a＋36＝10(a－)2＋≥，当且仅当a＝时，取等号．故选BCD．二、填空题(每小题5分，共20分)8．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)，若A，B，C三点共线，则a，b的关系式为__a＋b＝2__.解析：由已知AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC，∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.9．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__－4__；若方向相同，则k＝__4__.解析：∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，∴ka＋2b＝λ·(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(舍正)，同理，方向相同，k＝4.10．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝.解析：由a＋b＋c＝0，a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，得c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋0＋22＝5，|c|＝.11．如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°.若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝.解析：由已知，可得OA⊥OC，以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有C(1,0)，A(0,1)，B(cos30°，－sin30°)，即B(，－)．于是OC＝(1,0)，OA＝(0,1)，OB＝(，－)，由OC＝λOA＋μOB，得(1,0)＝λ(0,1)＋μ(，－)＝(μ，λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝.三、解答题(共45分)12．(15分)在△ABC中，AB·AC＝0，|AB|＝12，|BC|＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．(1)求AD·CB的值；(2)判断AE·CB的值是否为一个常数，并说明理由．解：(1)∵AB·AC＝0，∴AB⊥AC，又|AB|＝12，|BC|＝15，∴|AC|＝9.由已知可得AD＝(AB＋AC)，CB＝AB－AC，∴AD·CB＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝(AB2－AC2)＝×(144－81)＝.(2)AE·CB的值为一个常数．理由如下：∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，∴DE·CB＝0，故AE·CB＝(AD＋DE)·CB＝AD·CB＋DE·CB＝AD·CB＝.13．(15分)已知正方形ABCD的边长为2，DE＝2EC，DF＝(DC＋DB)，求BE·DF的值．解：如图，以点B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．则B(0,0)，E(2，)，D(2,2)．由DF＝(DC＋DB)知，点F为BC的中点，故DF＝(－1，－2)．∵BE＝(2，)，∴BE·DF＝－2－＝－.14．(15分)如图，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．解：∵OC＝OA＝(0,5)＝(0，)，∴C(0，)．∵OD＝OB＝(4,3)＝(2，)，∴D(2，)．设M(x，y)，则AM＝(x，y－5)，∵AM∥AD，AD＝(2，－)，∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又CM＝(x，y－)，CB＝(4，)．∵CM∥CB，∴x－4(y－)＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．
