四川省木里县中学高三数学总复习不等式新人教A版一、填空题1．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．答案解析2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥.2．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是________．答案a≥4或a≤－2解析由柯西不等式得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，由题意|a－1|≥3，∴a≥4或a≤－2.二、解答题3．已知a>0，b>0，c>0，a＋b>c.求证：＋>.证明本题若通分去分母，运算量较大，考虑到a>0，b>0可先试试分式的放缩．∵a>0，b>0，∴>，>，∴＋>，∴只需证：>.而函数f(x)＝＝1－在(0，＋∞)上递增，且a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)．即>，∴原不等式成立．4．已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求证：－≤c≤1.证明因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1.5．(2011·福建厦门质检)已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正数，求证：＋＋≥9.证明左边＝[2(a＋b＋c)](＋＋)＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)≥(1＋1＋1)2＝9(或＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，∴＋＋≥9.6．(2011·江苏无锡)已知x，y，z均为正数．求证：＋＋≥＋＋.证明因为x，y，z均为正数，所以＋＝(＋)≥，同理可得＋≥，＋≥，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.7．已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．解析∵(x2＋2y2＋3z2)[32＋()2＋()2]≥(3x＋y＋z)2≥(3x＋2y＋z)2，∴(3x＋2y＋z)2≤12，－2≤3x＋2y＋z≤2.当且仅当x＝－，y＝－，z＝－时，3x＋2y＋z取最小值，最小值为－2.8．(2010·江苏盐城一模)设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：(a＋)2＋(b＋)2＋(c＋)2≥.证明左边＝(12＋12＋12)[(a＋)2＋(b＋)2＋(c＋)2]≥[1×(a＋)＋1×(b＋)＋1×(c＋)]2＝[1＋(＋＋)]2＝[1＋(a＋b＋c)(＋＋)]2≥(1＋9)2＝.9．(2011·大连一模)已知对于任意非零实数a和b，不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，试求实数x的取值范围．解析由题知，|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|不大于的最小值．因为|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋2a－b|＝4|a|，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时取等号．所以的最小值等于4.所以x的范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集，解不等式得－2≤x≤2.10．已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．解析由柯西不等式知：[x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋×2y＋×3z)2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)．因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，1所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，所以a的值为.11．(2011·苏锡常镇一模)已知a>b>c>0，求证：a＋≥6.(并指出等号成立的条件)解析因为a>b>c>0，所以a－b>0，b－c>0，所以a＝(a－b)＋(b－c)＋c≥3，当且仅当a－b＝b－c＝c时，等号成立，所以a＋≥3＋≥2＝6，当且仅当3＝时，等号成立，故可求得a＝3，b＝2，c＝1时等号成立．2
