上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第2讲 学习能力型问题（3）泸教版VIP专享VIP免费

上海市封浜中学高三数学二轮专题复习：第2讲学习能力型问题（3）例10．（上海2003）已知集合M是满足下列性质的函数)(xf的全体：存在非零常数T，对任意Rx，有)()(xTfTxf成立．（1）函数xxf)(是否属于集合M？说明理由；（2）设函数xaxf)(（0a且1a）的图像与xy的图像有公共点，证明：Maxfx)(；（3）若函数Mkxxfsin)(，求实数k的取值范围．设计此题的指导思想是，在教材基本概念的基础上，提出某种新的定义，或作某种推广，再深入地讨论问题，考查学生是否具有研究性学习能力．于是选择教材中函数周期的定义，对此略作了些拓展，并用集合的语言来进行描述，这样，同时又可以考查学生对集合的理解．由此出现了题干上的那段叙述：满足某个条件的函数的全体组成一个集合……解：对于非零常数T，f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=.Mx（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：xyayx有解，消去y得ax=x,显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T.于是对于f(x)=ax有)()(xTfaTaaaTxfxxTTx故f(x)=ax∈M.（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx.因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，于是sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT)∈[－1，1]，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立，只有T=1，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx成立，则k=2mπ,m∈Z.当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx成立，即sin(kx－k+π)=sinkx成立，则－k+π=2mπ,m∈Z，即k=－2(m－1)π,m∈Z.综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}用心爱心专心下面我们再来看几个有关函数集合的问题．例11．（2005年上海七校联考）已知集合DM是满足下列性质的函数)(xf的全体：对于定义域D中的任意两个自变量21,xx（21xx），都有|||)()(|2121xxxfxf成立．（1）当RD时，函数sincos)(xxf（),0(）是否属于DM，为什么？（2）当},0|{RxxxD时，试证明：函数xaxf)(（10a）不属于DM；（3）设},0|{RxxxA，是否存在一个集合AD，使得函数xaxf)(（10a）属于集合DM？给出你的结论，并说明理由．分析：首先必须明白集合DM中元素的本质属性，即“对于在定义域D的任意两个自变量1x，2x（21xx），都有|||)()(|2121xxxfxf”，其几何意义是：对于曲线)(xfy（Dx）上任意两点所确定的直线的斜率其绝对值应当小于1．解：（1）对于函数sincos)(xxf（),0(）而言，任取1x，2x，则|||cos||)()(|2121xxxfxf，由),0(可得1|cos|0，而0||21xx，∴|||)()(|2121xxxfxf成立．从而DMxf)(．（2）举反例．不妨设nax1，12nax（Nn），此时121nanaxxanna)1(，而annxfxf11)()(21，从而用心爱心专心|||)()(|2121xxxfxf不能成立．所以DMxf)(．（3）存在一个集合AD，使得函数xaxf)(（10a）属于DM．设1x，Dx2，且21xx，若||||)()(2121212121xxxxxxaxaxaxfxf成立，因0||21xx，只需121xxa，即axx21．故存在),[aD，对任取Dxx21,，都有|||)()(|2121xxxfxf成立．从而存在一个集合AD，使得函数xaxf)(（10a）属于DM．当然这样的集合D可以是区间),[a的任意一个子集．说明：由分析可知，对于直线sincos)(xxf（),0(）的斜率cos，由于1cos0，因此)(xf属于集合DM；而对于曲线xaxf)(（10a）而言，过任意两点的直线的斜率的绝对值为21xxa，要受到x范围的制约，因此需要去控制这个范围才能使得函数属于集合．在举反例时，要让其超过这允许的范围．无独有偶，2006年广东高考数学卷中就有这样一个关于函数集合的试题．例12．（2006广东）A是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x组成的集合：①对于任意]2,1[x，都有)2(x)2,1(；②存在常数L（10L），使得对任意的1x，]2,1[2x，都有2121)2()2(xxLxx．...