优化方案（山东专用）高考数学二轮复习 解答题分层综合练（五）理-人教版高三全册数学试题VIP免费

解答题分层综合练(五)压轴解答题抢分练(2)(建议用时：40分钟)1．已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知AB＝BC.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1，0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．3．(2015·临沂联考)已知函数f(x)＝lnx＋＋ax(a是实数)，g(x)＝＋1.(1)当a＝2时，求函数f(x)在定义域上的最值；(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围；(3)是否存在正实数a满足：对于任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2，0)，离心率为，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P(异于点A)为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点E，D，求的取值范围．解答题分层综合练(五)压轴解答题抢分练(2)1．解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝lna，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，lna)上为减函数，当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(lna，＋∞)上为增函数．(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x，因为g(x)在(2，＋∞)上为增函数，所以g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，即m≤在(2，＋∞)上恒成立，令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，h′(x)＝＝.令L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1>0在(2，＋∞)上恒成立，即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，即L(x)>L(2)＝e2－4>0，所以h′(x)>0，即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，所以h(x)>h(2)＝，所以m≤.2．解：(1)因为A(－a，0)，设直线方程为y＝2(x＋a)，B(x1，y1)，令x＝0，则y＝2a，所以C(0，2a)，所以AB＝(x1＋a，y1)，BC＝(－x1，2a－y1)，因为AB＝BC，所以x1＋a＝(－x1)，y1＝(2a－y1)，整理得x1＝－a，y1＝a，因为点B在椭圆上，所以＋·＝1，所以＝，所以＝，即1－e2＝，所以e＝.(2)因为＝，可设b2＝3t，a2＝4t，所以椭圆的方程为3x2＋4y2－12t＝0，由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0.因为动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，所以Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0，整理得m2＝3t＋4k2t，设P(x0，y0)，则有x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.又M(1，0)，Q(4，4k＋m)，因为x轴上存在一定点M(1，0)，使得PM⊥QM，所以·(－3，－(4k＋m))＝0恒成立，整理得3＋4k2＝m2.所以3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立，故t＝1.所以椭圆的方程为＋＝1.3．解：(1)当a＝2时，f(x)＝lnx＋＋2x，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝－＋2＝＝，令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝处取到最小值，最小值为3－ln2；无最大值．(2)f′(x)＝－＋a＝，x∈[1，＋∞)，显然a≥0时，f′(x)≥0，且不恒等于0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，符合要求．当a<0时，令h(x)＝ax2＋x－1，当x→＋∞时，h(x)→－∞，所以函数f(x)在[1，＋∞)上只能是单调递减函数．所以Δ＝1＋4a≤0或解得a≤－.综上可知满足条件的a的取值范围是∪[0，＋∞)．(3)不存在满足条件的正实数a.由(2)知，当a>0时，f(x)在[1，＋∞)上是单调递增函数，所以f(x)在[1，2]上是单调递增函数．所以对于任意x1∈[1，2]，f(1)≤f(x1)≤f(2)，即f(x1)∈.g′(x)＝，当x∈[1，2]时，g′(x)≤0，所以g(x)在[1，2]上是单调递减函数．所以当x2∈[1，2]时，g(x2)∈.若对于任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则⊆，此时a无解．所以不存在满足条件的正实数a.4．解：(1)因为A(2，0)是椭圆C的右顶点，所以a＝2.又＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线AP的斜率为0时，|AP|＝4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|＝2，所以＝.当直线AP的斜率不为0时，设直线AP的方程为y＝k(x－2)，P(x0，y0)，则直线DE的方程为y＝－x.由得x2＋4[k(x－2)]2－4＝0，即(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，所以2＋x0＝，所以x0＝，所以|AP|＝＝，即|AP|＝.由得(k2＋4)x2－4k2＝0，所以|DE|＝·＝4，所以＝＝.设t＝，则k2＝t2－4，t>2.＝＝(t>2)．令g(t)＝(t>2)，则g′(t)＝>0，所以g(t)是一个增函数．所以＝>＝.综上，的取值范围是.