高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计学业分层测评 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学试题VIP免费

1.8最小二乘估计(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A．y＝0.4x＋2.3B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5D．y＝－0.3x＋4.4【解析】线性回归方程一定经过样本点的中心(，)，将(，)逐个代入验证只有A项符合．【答案】A2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关【解析】因为变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，其中－0.1＜0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k＞0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k＜0，所以x与z负相关，综上可知，应选A.【答案】A3．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为()A．y＝x＋1B．y＝x＋2C．y＝2x＋1D．y＝x－1【解析】＝＝2.5，＝＝3.5，因为回归方程过样本中心(，)，故A正确．【答案】A4．已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝()A．2.2B．2.9C．2.8D．2.6【解析】＝＝2，＝＝4.5，又回归直线经过(，)，所以4.5＝0.95×2＋a，a＝2.6.【答案】D5．有人收集了春节期间平均气温x(单位：℃)与某取暖商品的销售额y(单位：万元)的有关数据如下表：平均气温x(℃)－2－3－5－6销售额y(万元)20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程y＝a＋bx的系数b＝－2.4.则预测平均气温为－8℃时，该商品的销售额为()A．34.6万元B．35.6万元C．36.6万元D．37.6万元【解析】由已知，得＝＝－4，＝＝25，所以a＝－b＝25＋2.4×(－4)＝15.4，即线性回归方程为y＝15.4－2.4x，当x＝－8时，y＝34.6.【答案】A二、填空题6．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)．预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是____________亿元．【解析】由题意知，y＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元．【答案】12.17．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】[0.254(x＋1)＋0.321]－[0.254x＋0.321]＝0.254(万元)．【答案】0.2548．对一质点的运动过程观测了4次，得到如下表所示的数据，则刻画y与x的关系的线性回归方程为________．x1234y1356【解析】＝2.5，＝3.75，∑xiyi＝46，∑x＝30，b＝＝1.7，a＝－b＝－0.5.所以所求的线性回归方程为y＝1.7x－0.5.【答案】y＝1.7x－0.5三、解答题9．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y＝bx＋a；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【解】(1)制表如下：i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4916253690＝4，＝5，∑x＝90，∑xiyi＝112.3于是有b＝＝＝1.23.a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.故线性回归方程是y＝1.23x＋0.08.(2)根据线性回归方程是y＝1.23x＋0.08，当x＝10(年)时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元．10．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得∑xi＝80，∑yi＝20，∑xiyi＝184，∑x＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均值．【解】(1)由题意知，n＝10，＝∑xi＝＝8，＝∑yi＝＝2，又lxx＝∑x－n2＝720－10...