高中数学构造法在解三角题中的应用例说学法指导VIP免费

高中数学构造法在解三角题中的应用例说在解题时按常规方法难以解决或无以下手时，就需要改变方向在更广阔的背景下，通过对条件或结论的分析与思考，构造出与问题有关的代数或几何模型，从而找到解决问题的方法与途径。巧妙应用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种知识相互渗透与交融，使学生的视野更开阔，创新思维得到发展与提高。下面例说构造法在解三角问题中的应用。一.构造方程例1.已知锐角、、满足sinsinsinsinsinsin22222212222，求证：。证明：已知条件可视为关于sin2的一元二次方程sin(sinsin)sin(sinsin)22222222221042242212222sinsin(sinsin)412124222222(sin)(sin)coscos因为、、是锐角，所以222、、也均为锐角，由一元二次方程求根公式得：sinsinsincoscoscos()2222222又022则sin20，再由022，则有2222，故二.构造函数例2.在斜△ABC中，证明sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2证明：构造函数fxABxABx()(sinsin)sinsin()1201，，因为fABABAB()sinsinsinsin(sin)(sin)112110（因为sinA<1，sinB<1）而f(x)在（0，1）上单调递减（因为sinAsinB-1<0）所以f(x)在（0，1）上恒有f(x)>0故f(sinC)>0代入整理得：sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2三.构造不等式例3.设α、β是锐角，且满足sinsincoscos331，求证：(coscossinsin)(coscossinsin)10证明：因为α、β是锐角，则sincossincos，，，均大于0所以sinsinsinsinsin(sinsin)sinsin3323223233①同理coscoscoscoscoscos33223②用心爱心专心由①+②结合已知得33，于是①，②等号同时成立即有sinsinsin32且coscoscos32有sinsincoscos且故coscossinsin0结论得证。四.构造数列例4.已知sincos()150，，，求cot的值。解：由条件sincos15，可知sincos，，110构成一个等差数列。设其公差为d，则sincos110110dd，由sincos221可得()()110110122dd解得d710又因为0，所以sin0，故d710应舍去。所以d710，则sincos4535，故cotcossin34五.构造向量例5.已知coscoscos()32，求锐角α、β。解：由已知得(cos)cossinsincos132①构造向量ab(cossin)(cossin)1，，，由于ab(cos)cossinsincos132所以||||(cos)sincossinab1222222cos又由()||||abab222，有(cos)cos32222即(cos)1202所以cos123即将3代入①并整理得：sin()61则33，故用心爱心专心六.构造复数例6.已知sinsincoscos1413，，求tan()解：构造复数ZiZi12cossincossin，则ZZi121314①所以ZZi121314又||||ZZ1211，所以ZZZZ112211，，代入①式则111314121212ZZZZZZi所以ZZiii12131413147252425又ZZi12cos()sin()所以sin()cos()2425725，tan()sin()cos()247七.构造对偶式例7.求sincossincos22208032080的值。解：设Asincossincos22208032080构造Bcossincossin22208032080则AB23100sin①ABcoscossin16040360310032sin②由①+②得212A，即A14为所求三角式的值。八.构造比例式例8.求证：11sectansectansectan证明：因为sectan221，所以sectansectan11由等比定理知：sectansectansectan111则有11sectansectansectan...