高三数学期中模拟考试A．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设复数=，则=▲．2．设集合A={5，},集合．若={2}，则=▲．3．命题，命题p的否定为命题q，则q的真假性为▲．（填真，假）．4．一只蚂蚁在边长为3，4，5的三角形的内部爬行，某时刻蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是▲．5．若平面向量的夹角是180°，且点的坐标为，且的模为则点的坐标▲．6．函数，的周期为，则该函数在的单调递增区间为▲．7．在正四面体P—ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个命题（1）BC∥平面PDF（2）DF∥平面PAE（3）平面PDF⊥平面ABC（4）平面PDF⊥平面PAE正确命题的序号为▲．8．将函数的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象上的所有点沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和函数的图象相同，则函数的解析式为▲．9．若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是▲．10．某小卖部为了了解冰糕销售量y(箱)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程中的，预测当气温为时，冰糕销量为▲杯．11．在锐角△ABC中，sinA＝，tan(A－B)＝－．则cosC的值是▲．12．已知函数,令,,,则▲．13．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：气温（）181310-1冰糕箱数64383424，，，，，，现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，则所得函数是奇函数的概率是▲．14．设函数，其中是给定的正整数，且，如果不等式在区间有解，则实数的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量AB=（1＋tanx，1－tanx），AC=（sin(x－)，sin(x＋)）．（1）求证：AB⊥AC；（2）若x[∈－，]，求|BC|的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数f(x)=x2－x＋alnx(1)当时，恒成立，求的取值范围；(2)讨论在定义域上的单调性；17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求四棱锥P－ABCD的体积．18.（本小题满分15分）已知函数是偶函数.(1)求的值;(2)设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.19．（本小题满分16分）已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下A（第17题）CDEPFBABCDMN角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点，M、N分别位于边AB、BC上，设。（ⅰ）试将表示成的函数；（ⅱ）求的最小值。20．（本小题满分16分）已知函数有下列性质：“若使得”成立，（1）利用这个性质证明唯一.（2）设A、B、C是函数图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形.参考答案：1．22．{1,2,5}3．假4．5．（4，－4）6．7．（1）（4）8．9.10．7011．12．13．14．15．证：（1）AB·AC=（1＋tanx）sin(x－)＋（1－tanx）sin(x＋)-------------3分==0--------------6分∴AB⊥AC（2）|AC|=sin2（x+)＋sin2(x－)=1-----------------8分 AB⊥AC，|BC|2=|AB|2＋|AC|2=3＋2tan2x--------11分 x[∈－，]，0≤tan2x≤1，∴≤|BC|≤------------14分15.(1)解：由恒成立,得:在时恒成立当时-----------------------2分当时即，令,--------4分时,在时为增函数，在时为减函数∴∴-------------------------------6分(2)解：f(x)=x2－x＋alnx，f′(x)=2x－1＋=，x＞0（1）当△=1－8a≤0，a≥时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在（0，+∞）上为增函数．----8分（2）当a＜时①当0＜a＜时，，f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数．--------------------------11分②当a=0时，f(x)在（0，1]上为减函数，f(x)在[1，＋∞）上为增函数．----------12分③当a＜0时，，故f(x)在（0，]上为减函数，f(x)在[，＋∞）上为增函数．------------------------14分17．（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．……………2分又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．…...
