第3课函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．【基础练习】1.下列函数中：①；②；③；④．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．2.函数的递增区间是___R___．3.函数的递减区间是__________．4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______．【范例解析】例1.求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；（2）函数在上是单调递减函数；（3）函数在区间和上都是单调递增函数．分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，1因为，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．（2）对于上的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即．所以，函数在上是单调减函数．（3）对于区间内的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．同理，对于区间，函数是单调增函数；所以，函数在区间和上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；2（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数的单调性．分析：作差后，符号的确定是关键．解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，则又，，，即．所以，在区间上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．例3.已知函数．（1）讨论函数在区间上的单调性，并证明；（2）求函数在区间上的最大值与最小值；（3）试求函数的最小值．分析：本题先研究函数的单调性，再利用单调性解决最值问题．解：（1）对于区间内的任意两个值，，且，则，当，则，，3故，即，即．所以，函数在区间上是单调减函数；当，则，，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数；综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．（2）由（1）知，函数在上是单调递减，上是单调递增；所以，的最小值为，此时；又，所以的最大值为，此时或．（3）令，则，由（1）知，在上单调递增，所以，y的最小值为．例4.已知函数在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．分析：由函数在[－1，1]上是增函数，建立不等关系．解：①当时，在[－1，1]上是增函数，②当时，对称轴方程为，ⅰ）当时，，解得；ⅱ）当时，，解得；．点评：由单调性求参数的范围，应注意分类讨论．4【反馈演练】1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则__25___.3.函数的单调递增区间为.4.函数的单调递减区间为．5．“a=1”是“函数在区间[1，+∞)上为增函数”的___充分不必要___条件．6．在下列四个函数中，①；②；③；④．满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的函数的序号有____①____．7．已知是上的减函数，那么的取值范围是．8．设函数的定义域为，有下列三个命题：①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的序号有___②③___．9.若函数为R上的减函数，且的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式的解集为____________________.10.已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．解：设对于区间内的任意两个值，，且，则，5，，得，，，即．11.设函数f(x)=－ax，其中a>0．证明：当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调函数．证明：在区间上任取x1、x2，使得x10，即f(x1)>f(x2)．所以，当a≥1时，函数f(x)...
