双曲线011．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2C．4D．42．设集合P＝，Q＝{(x，y)|x－2y＋1＝0}，记A＝P∩Q，则集合A中元素的个数是()A．3B．1C．2D．43．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足MF1·MF2＝0，|MF1|·|MF2|＝2，则该双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝14．双曲线－＝1的共轭双曲线的离心率是________．5．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为()A.B.C.D.6．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．17．从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A.B.C.D.8．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是，则a＋b的值为()A．－B.C．－或D．2或－2图K51－19．如图K51－1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝2AD，设∠DAB＝θ，θ∈，以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1·e2＝________.10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，它的一个焦点为F(6,0)，则双曲线的方程为________．12．(13分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同焦点，且经过点(，4)．(1)求双曲线C的方程；(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．113．(12分)双曲线E经过点A(4,6)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝2.(1)求双曲线E的方程；(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．答案解析【基础热身】1．C[解析]双曲线方程可化为－＝1，所以a2＝4，得a＝2，所以2a＝4.故实轴长为4.2．B[解析]由于直线x－2y＋1＝0与双曲线－y2＝1的渐近线y＝x平行，所以直线与双曲线只有一个交点，所以集合A中只有一个元素．故选B.3．A[解析]由|MF1|·|MF2|＝2|和|MF1|2＋|MF2|2＝40得||MF1|－|MF2||＝6.4.[解析]双曲线－＝1的共轭双曲线是－＝1，所以a＝3，b＝，所以c＝4，所以离心率e＝.【能力提升】5．D[解析]设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝.根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，所以e＝，故选D.6．C[解析]根据双曲线－＝1的渐近线方程得：y＝±x，即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0，所以有a＝2，故选C.7．B[解析]若方程表示圆锥曲线，则数组(m，n)只有7种：(2，－1)，(3，－1)，(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以概率为P＝.故选B.8．B[解析]由点P(a，b)到直线y＝x的距离为，可得a－b＝2，又P在双曲线x2－y2＝1上，a2－b2＝1，得a＋b＝.9．1[解析]作DM⊥AB于M，连接BD，设AB＝2，则DM＝sinθ，在Rt△BMD中，由勾股定理得BD＝，所以e1＝＝，e2＝＝，所以e1·e2＝1.10．[2，＋∞)[解析]依题意，双曲线的渐近线中，倾斜角的范围是[60°，90°)，所以≥tan60°＝，即b2≥3a2，c2≥4a2，所以e≥2.11.－＝1[解析]＝，即b＝a，而c＝6，所以b2＝3a2＝3(36－b2)，得b2＝27，a2＝9，所以双曲线的方程为－＝1.12．[解答](1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为－＝1，则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点(，4)，所以－＝1，②解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C的方程为－＝1.(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝，c＝3.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝，所以△F1PF2的面积为S＝mnsin120°＝.【难点突破】13．[解答](1)依题意，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，c2＝a2＋b2(c>0)，由点A在双曲线上得－＝1，由离心率e＝2，得＝4两式联立，⇒∴双曲线E的方程为－＝1.(2)设F1(－4,0)，F2(4,0)，由A(4,6)，∴AF2⊥x轴，设∠F1AF2的角平分线所在直线交x轴于点M(m,0)，则点M到直线F1A，F2A的距离相等，直线F1A，F2A的方程分别为3x－4y＋12＝0，x＝4，所以得＝4－m，解得m＝1，即m(1,0)，故所求直线方程为y＝(x－1)，即2x－y－2＝0.2
