日照实验高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题2（第二轮考试时间60分钟，满分100分）（2005年10月8日）班级姓名得分一、选择题（每题６分，36分）1．集合｛0,1，2,2004｝的子集的个数是（）（A）16（B）15（C）8（D）7２．乘积等于().(A)(B)(C)(D)3．某公司从2001年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：若该公司某职工在2005年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2005年底这位职工的工龄至少是（）（A）2年（B）3年（C）4年（D）5年4.若F()=x则下列等式正确的是（）.（A）F(-2-x)=-1-F(x)（B）F(-x)=（C）F(x-1)=F(x)（D）F（F（x））=-x5．已知是实数，条件；条件，则是的（）(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件6．已知四边形ABCD在映射：→作用下的象集为四边形四边形ABCD的面积等于6，则四边形的面积等于（）A．9B．C．D．6项目计算方法基础工资2003年1万元，以后每年逐增10%住房补贴按工龄计算：400元×工龄医疗费每年1600元固定不变二、填空题（每题5分，25分）7．如果，则的值是。8.Letbeafunctionsuchthatforanyrealnumbersand,and,thenisequalto_____________.9．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A、B、C、D、E，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A、B、C、D分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E被读了______次。10.已知函数当时，11.方程的根是__________________.三、解答题（39分）12.在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数的积、三个数的积、…、七个数的积，试求它们的和.（9分）13.已知x，y，z是实数，≥0且满足①x+y+z=，②求证：0≤x≤0≤y≤0≤z≤（10分）14.已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE=3α,BC=CD=DE，且∠BCO=∠CDE=180°-2α，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.（10分）15.某种绘图装置可沿横、纵、斜方向以每秒1cm的速度移动，该装置可在纸面上描出线来，也可以离开纸面在空中运行．现用这个装置绘制右边的图形，问至少要用几秒？图中各角均系直角，该装置离开纸面的时间略而不计．（1995年日本数学奥林匹克预选赛题2）（10分）参考解答一、选择题:ACCBAD二、填空题7.2或48.2005.59.1，510.11.2或3或0或－1三、解答题12.解（1）任选一个数的和：1+（-1）+2+（-2）+3+(-3)+4=4.(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,…成对出现,这些积的和为0)的和为:1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=－14.(3).任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),…成对出现，这些积的和为0)的和为：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-－56.（4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3×（-3）+1×（-1）×3×（-3）=49；1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=1961×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=－36；1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=－144.所以，所求的和为-1.法2（1+a）(1+b)(1+c)…（1+g）＝1＋（a＋b+c+…＋g）＋（ab＋bc＋…＋fg）＋…＋abc…g，取a＝－1，b＝－2，…，g＝4得（a＋b+c+…＋g）＋（ab＋bc＋…＋fg）＋…＋abc…g＝－113.证明由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△=16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤同理可证：0≤y≤，0≤z≤法2：（z－a）2＝（x＋y）2，，由柯西不等式（x＋y）2≤（z－a）2≤2(),∴3z2－2az≤0，≥0∴0≤z≤同理0≤x≤0≤y≤14.证明连结BD、CE.∵BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE，∴△BCD≌△CDE.又∠BCD=180°-2α,∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=α,∠CDE＝180°-3α∴∠CDE＋∠CAE=180°-3α+3α＝180°∴A、C、D、E四点共圆，同理A、C、D、B四点共圆.由于过A、C、D有且只有一个圆，∴A、B、C、D、E共圆.∵BC=CD=DE∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=α.15解当图形成一笔画时用时最少．但上图有4个奇顶点，要使之成为一笔画，须用一条线段连接其中两个奇顶点．显然，用线段将AB连接，则由C开始到D结束构成一笔画图形，其中该装置在A到B部分离开纸面，这样用时最少，总共须用12+秒.
