6个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥EABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：(1)MN∥平面EBC；(2)EA⊥平面EBC.证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF綊AB.又N是矩形ABCD边CD的中点，所以NC綊AB，所以MF綊NC，所以四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF.又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中，BC⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB.又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以EA⊥平面EBC.2．△ABC中，AB·AC＝S△ABC(S△ABC表示△ABC的面积)．(1)若BC＝2，求△ABC外接圆的半径；(2)若B－C＝，求sinB的值．解：(1)因为AB·AC＝S△ABC，所以AB·AC·cosA＝·AB·AC·sinA，即cosA＝sinA，又因为cos2A＋sin2A＝1，A∈(0，π)，解得sinA＝，cosA＝.设△ABC外接圆的半径为R，则2R＝＝＝，所以R＝，即△ABC外接圆的半径为.(2)因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝，cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA＝－，则cos2B＝cos[(B＋C)＋(B－C)]＝cos＝cos(B＋C)cos－sin(B＋C)sin＝－×－×＝－.又cos2B＝1－2sin2B，所以sin2B＝＝＝，又因为B∈(0，π)，所以sinB＞0，所以sinB＝.3．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A，E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B，D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H＝6米，圆弧的弓高h＝1米，圆弧所对的弦长BD＝10米．(1)求所在圆的半径；(2)求桥底AE的长.解：(1)设所在圆的半径为r(r>0)，由题意得r2＝52＋(r－1)2，∴r＝13.答：所在圆的半径为13米．(2)以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． H＝6米，BD＝10米，弓高h＝1米，∴B(－5,5)，D(5,5)，C(0,6)，设所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则∴∴的方程为x2＋(y＋7)2＝169(5≤y≤6)．设曲线AB所在抛物线的方程为y＝a(x－m)2， 点B(－5,5)在曲线AB上，∴5＝a(5＋m)2，①又与曲线段AB在接点B处的切线相同，且在点B处的切线的斜率为，由y＝a(x－m)2，得y′＝2a(x－m)，∴2a(－5－m)＝，∴2a(5＋m)＝－，②由①②得m＝－29，∴A(－29,0)，E(29,0).∴桥底AE＝29－(－29)＝58米．答：桥底AE的长58米．4.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－2,0)，且点在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；(3)若F1C⊥AB，求k的值．解：(1)由题意得解得∴椭圆E的标准方程为＋＝1.(2) △CF1F2为等腰三角形，且k>0，∴点C在x轴下方，若F1C＝F2C，则C(0，－)；若F1F2＝CF2，则CF2＝2，∴C(0，－)；若F1C＝F1F2，则CF1＝2，∴C(0，－)，∴C(0，－)．∴直线BC的方程y＝(x－1)，由得或∴B.(3)设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，由消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，∴xA·xB＝－2xB＝，∴xB＝，∴yB＝k(xB＋2)＝，∴B.若k＝，则B，∴C， F1(－1,0)，∴kCF1＝－，∴F1C与AB不垂直；∴k≠， F2(1,0)，kBF2＝，kCF1＝－，∴直线BF2的方程为y＝(x－1)，直线CF1的方程为y＝－(x＋1)，由解得∴C(8k2－1，－8k)．由点C在椭圆上，得＋＝1，即(24k2－1)(8k2＋9)＝0，即k2＝， k>0，∴k＝.5．数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝4－an.(1)求证：数列{an}为等比数列，并求通项公式an；(2)是否存在自然数c和k，使得＞1成立？若存在，请求出c和k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当n＝1时，S1＋a1＝4，得a1＝2,由Sn＝4－an，①得Sn＋1＝4－an＋1，②②－①得，Sn＋1－Sn＝an－an＋1，即an＋1＝an,所以＝，且a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且an＝.(2)法一：因为an＝，所以ak＋1＝，Sk＝4，要使＝>1成立，只要使<0(*)成立，当c≥4时，不等式(*)不成立；(也可以根据Sk＝4>c，且2≤Sk＜4，所以c的可能取值为0,1,2,3)当c＝0时，1<2k<，不存在自然数k使(*)成立...
