高二数学相互独立事件同时发生的概率【本讲主要内容】相互独立事件同时发生的概率相互独立事件的定义、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验的定义、独立重复试验的概率公式。【知识掌握】【知识点精析】1.相互独立事件的定义：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立。2.相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即。3.对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：。4.独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。5.独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率。它是展开式的第项。【解题方法指导】例1.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率。解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件（1）2人都射中的概率为：∴2人都射中目标的概率是0.72用心爱心专心（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）。根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：∴人中恰有人射中目标的概率是（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为。（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是。∴“两人至少有1人击中目标”的概率为。（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为：例2.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。解：分别记这段时间内开关，，能够闭合为事件，，由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是：用心爱心专心答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973变式题1：如图添加第四个开关与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。方法一：方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除开且与至少有1个开的情况。点评：此题采用逆向思考方法，采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便。例3.某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击次记事件A=“射击一次，击中目标”，则用心爱心专心 射击n次相当于n次独立重复试验∴事件A至少发生1次的概率为由题意，令∴，∴∴n至少取5答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次。例4.十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次。∴从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停次，则其概率为∴当或时，最大，即最大答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大。【考点突破】【考点指要】相互独立事件同时...
