2016-2017学年高中数学第3章导数应用2.1实际问题中导数的意义课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y＝f(x)＝3，则从4m到9m这一段金属棒的平均线密度是()A.kg/mB.kg/mC.kg/mD.kg/m解析：平均线密度＝＝kg/m.答案：B2．某汽车启动阶段的路程函数为S(t)＝2t3－5t2，则t＝2秒时，汽车的加速度是()A．14B．4C．10D．6解析：V(t)＝S′(t)＝6t2－10t，∴a(t)＝V′(t)＝12t－10.当t＝2秒时，a(2)＝14，即t＝2时，汽车的加速度为14.答案：A3．从时间t＝0开始的ts内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5s时的电流强度为()A．27C/sB．20C/sC．25C/sD．23C/s解析：某种导体的电量q在5s时的瞬时变化率就是第5s时的电流强度．∵q′＝4t＋3，∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．答案：D4．一个球的半径以0.1cm/s的速率增加，那么当半径r＝10cm时，此球的表面积增加的速率为()A．2πcm2/sB．4πcm2/sC．8πcm2/sD．16πcm2/s解析：∵r＝0.1t，∴Δr＝0.1Δt，又Δs＝4π(10＋0.1Δt)2－4π·102＝8πΔt＋0.04π(Δt)2∴球的表面积增加的平均变化率为＝＝8π＋0.04πΔt当Δt→0时，→8π∴此球的表面积增加的速率为8πcm2/s.答案：C二、填空题5．已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)＝4q2＋q－6，则当产量q＝10时的边际成本为_________．解析：c′(q)＝8q＋1，c′(10)＝8×10＋1＝81，故q＝10时的边际成本为81.答案：816．某商品价格P(单位：元)与时间t(单位：年)有函数关系式P(t)＝(1＋10%)t，那么在1第8个年头此商品价格的变化速度是_______．解析：∵P′(t)＝1.1tln1.1，∴P′(8)＝1.18ln1.1(元/年)．答案：1.18ln1.1元/年三、解答题7．修建面积为xm2的草坪需要成本y元，且y是x的函数：y＝f(x)＝10x2＋x.(1)求当x从50变到60时，成本y关于修建面积x的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求f′(50)，并解释它的实际意义．解析：(1)当x从50变到60时，成本关于草坪面积x的平均变化率为＝＝1101(元/m2)它表示在草坪面积从50m2增加到60m2的过程中，草坪面积每增加1m2，成本平均增加1101元．(2)f′(x)＝20x＋1，∴f′(50)＝1001(元/m2)．f′(50)表示当草坪面积为50m2时，每增加1m2，成本要增加1001元．8．设生产某种产品的总成本函数c(万元)与产量q(万件)之间的函数关系为c＝c(q)＝100＋4q－0.2q2＋0.01q3.求生产水平为q＝10万件时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看继续提高产量是否合算？解析：当q＝10时，总成本c(10)＝100＋4×10－0.2×102＋0.01×103＝100＋40－20＋10＝130(万元)．平均成本130÷10＝13(元/件)，边际成本c′(q)＝4－0.4q＋0.03q2，∴c′(10)＝4－0.4×10＋0.03×102＝4－4＋3＝3(元/件)．因此在生产水平为10万元时每增产一个产品，总成本增加3元，比当前的平均成本13元低，从降低成本角度看，应继续提高产量．9．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它的增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)＝105＋104t－103t2.(1)求从第5小时到第10小时细菌的平均变化率；(2)求细菌在t＝5与t＝10时的瞬时变化率；(3)细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？解析：(1)从第5小时到第10小时细菌的平均变化率为＝＝＝＝－5×103.(2)∵b′(t)＝－2×103t＋104∴细菌在t＝5和t＝10时的瞬时变化率分别为b′(5)＝0，b′(10)＝－104.(3)令b′(t)＞0得0＜t＜5，当b(t)＝0时由b(t)＝105＋104t－103t2＝0得t1＝5＋5≈16，2t2＝5－5＜0(舍去)，∵细菌数量不可能小于0，∴0＜t＜16由b′(t)＜0得5＜t＜16.所以当0＜t＜5时细菌增加，当5＜t＜16时细菌减少．3
