高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等差、等比数列的综合应用练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第2课时等差、等比数列的综合应用INCLUDEPICTURE"课后作业.tif"\*MERGEFORMATA级基础巩固一、选择题1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为()A.或5B.或5C.D.解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以是首项为1，公比为的等比数列，其前5项和为＝.答案：C2．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A．150B．－200C．150或－200D．400解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，解得S20＝－20或S20＝30，又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.答案：A3．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为()A．978B．557C．467D．979解析：由题意可得a1＝1，设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，则所以q2－2q＝0，因为q≠0，所以q＝2，所以d＝－1，所以an＝2n－1，bn＝(n－1)(－1)＝1－n，所以cn＝2n－1＋1－n，设数列cn的前n项和为Sn，所以S10＝978.答案：A4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为()A．12B．10C．8D．6解析：设该等比数列的项数为2n，依题意得S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，1S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q·S奇．因为S偶＝2S奇，所以q＝2.又an＋an＋1＝a1qn－1＋a1qn＝2n－1＋2n＝3×2n－1＝24，所以2n－1＝8＝23，所以n－1＝3，解得n＝4，所以2n＝8.答案：C5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)解析：因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，当n≥2时，有a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，所以当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，所以an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．答案：B二、填空题6．数列{an}中，an＝则它的前n项和Sn＝________．解析：易知数列{an}的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．(1)当n为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，所以Sn＝＋＋·4＝＋；(2)当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项，所以Sn＝＋×3＋×4＝＋.答案：7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝40，S20＝120，则S30＝________．解析：由等比数列的性质，知S10，S20－S10，S30－S20也成等比数列，所以S30－S20＝＝＝160，所以S30＝280.答案：2808．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a－3n＋1，则a的值为________．解析：若数列{an}是等比数列，则它的前n项和公式为Sn＝A－Aqn，其中A＝，而此数列Sn＝a－3×3n，故a＝3.答案：3三、解答题9．已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}的通项公式bn.解：(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2.又q≠0，解得q＝2，所以an＝2n－1.2(2)当n＝1时，b1＝a1＝1；当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝，所以bn＝10．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．解：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由得所以{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，所以1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.所以{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…)．(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.因为cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋＝2×－n＋＝n2＋.即数列{cn}的前n项和为n2＋.B级能力提升1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，...