高中数学平面向量的数量积典例精析知识点分析VIP专享VIP免费

高中数学平面向量的数量积典例精析例1平面内有向量OAOBOP(,),(,),(,)175121，点X为直线OP上的一个动点。（1）当XAXBOX取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值。分析：因为点X在直线OP上，向量OXOP与共线，可以得到关于OX坐标的一个关系式；再根据XAXB的最小值，求得OX；而cosAXB是向量XAXB与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决。解：（1）设OXxy(,)点在直线上向量与共线又即XOPOXOPOPxyxyOXyy(,),(,)2112022又XAOAOXOA,(,)17XAyyXBOBOXyy(,)(,)127521同样于是XAXByyyyyyyy()()()()125271412587225201252822yyy()由二次函数的知识，可知当y＝2时，XAXBy5282()有最小值-8。此时OX(,)42；（2）当OX(,)42，即y＝2时，有XA(,)35，XBXA(,),1134，XB2。XAXBAXBXAXBXAXB()()cos31518834241717说明：由于X是OP上的动点，则向量XAXB,均是不确定的，它们的模和方向均是变化的，于是它们的数量积XAXB也处在不确定的状态，这个数量积由XAXB与的模XAXB与及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看出它们都是变量y的函数。另外，求出XAXB与的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。例2设平面内有两个向量ab(cos,sin),(cos,sin),且0。（1）证明()()abab；（2）若两个向量kab与akb的模相等，求的值(,)kkR0。分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到()()abab0，即可证明（1），再利用|kab|与|akb|相等，确定的值。证明：（1）ab(cos,sin),(cos,sin)abab(coscos,sinsin),(coscos,sinsin)()()(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin)coscossinsin(cossin)(cossin)()()abababab22222222110（2）kabkabkakabbakbakb22222222()||||,||()||||akabkb2222用心爱心专心由已知||||kabakb22，可得到()||()||,(*)kakabkb22221410注意到||cossin||cossinab222211，abcoscossinsincos()于是（*）式化为40kcos()。由于kRk,0cos(),cos().0002即而说明：由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知abab,是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中，abab与垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知||||kabakb时，a与b的夹角为||90，因此abababcos(),||||cos。故cos()cos，又0，有||（为a与b的夹角）。这时ab。此时由a及b为邻边组成的四边形是正方形。用心爱心专心