1.3.2函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1.设函数f(x)=xex,则()A.x=1是f(x)的极大值点B.x=1是f(x)的极小值点C.x=-1是f(x)的极大值点D.x=-1是f(x)的极小值点答案:D2.当函数f(x)=−13x3+12x2+2x取极小值时,x的值是()A.2B.2,-1C.-1D.-3解析:f'(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-∞,-1)和(2,+∞)内,f'(x)<0,在区间(-1,2)内,f'(x)>0,故当x=-1时,f(x)取极小值.答案:C3.已知函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)内有极小值,则()A.0
0D.b¿12解析:f'(x)=3x2-3b.要使f(x)在区间(0,1)内有极小值,又f'(x)的图象关于y轴对称,则f'(x)在(0,1)内由负变正,即{f'(0)<0,f'(1)>0,即{-3b<0,3-3b>0,解得00.所以当x¿√22时,函数y=lnx-x2取得极大值,所以所求极值点为√22.答案:√227.若函数f(x)=alnx+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=,b=.解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x¿=ax+2bx+3=2bx2+3x+ax.因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,所以x1=1,x2=2是方程f'(x¿=2bx2+3x+ax=0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.2所以由根与系数的关系知{-32b=1+2,a2b=1×2,解得{a=-2,b=-12.答案:-2−128.已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.(1)求a,b的值;(2)求函数y的极小值.分析:解决本题的关键是运用待定系数法求得a,b的值,进而可求函数y的极小值.解:(1)y'=3ax2+2bx.当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0.由题意得a+b=3.故{3a+2b=0,a+b=3,解得{a=-6,b=9.经检验知,符合题意.故a=-6,b=9.(2)由(1),得y=-6x3+9x2,则y'=-18x2+18x.令y'=0,得x=0或x=1.易知x=0是函数的极小值点,所以y极小值=0.9.求函数f(x¿=x3-22(x-1)2的极值.分析:首先确定函数f(x)的定义域,然后正确求导,解方程f'(x)=0.进而列表求极值.解:函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).f'(x¿=(x-2)2(x+1)2(x-1)3,令f'(x)=0,得x1=-1,x2=2.3当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)(1,2)2(2,+∞)f'(x)+0-+0+f(x)↗−38↘↗3↗故当x=-1时,函数f(x)有极大值,极大值为f(-1)=−38,f(x)无极小值.能力提升1.下列函数存在极值的是()A.f(x¿=1xB.f(x)=x-exC.f(x)=x3+x2+2x-3D.f(x)=x3解析:A项中,f'(x)=−1x2,令f'(x)=0无解,故A项中的函数无极值;B项中,f'(x)=1-ex,令f'(x)=0,得x=0.当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0.故f(x)在x=0处取极大值,f(0)=-1;C项中,f'(x)=3x2+2x+2,Δ=4-24=-20<0,故f(x)无极值.同理D项也无极值.故选B.答案:B2.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数图象如图所示,则函数f(x)的极小值是()A.a+b+cB.8a+4b+cC.3a+2bD.c4解析:由题图可知函数f(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,2)内单调递增,所以函数f(x)在x=0处取得极小值c.答案:D3.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,12)C.(0,1)D.(0,+∞)解析:f'(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx-2ax+1,函数f(x)有两个极值点,即lnx-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上),即函数g(x¿=lnx+1x与函数y=2a的图象在(0,+∞)内有两个不同的交点.因为g'(x¿=-lnxx2,所以g(x)在(0,1)内递增,在(1,+∞)内递减,所以g(x)max=g(1)=1,如图所示.若g(x)与y=2a的图象有两个不同交点,则0<2a<1,即0
