课时训练17空间向量运算的坐标表示1.已知向量a=(0,0,1),则a2等于().A.(0,0,1)B.1C.(1,0,0)D.-1答案:B解析:a2=|a|2=12=1.2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为().A.B.C.D.答案:C解析:AB的中点M,又C(0,1,0),所以,故M到C的距离|CM|=||=.3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则等于().A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,-21)D.(2,-7)答案:A解析:=2=2()=(-6,4),=(-2,7),=3=(-6,21).4.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为().A.-2B.2C.3D.-3答案:A解析:∵b-c=(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a·(b-c)=(-2,x,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,∴x=-2.5.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),,则C点的坐标是().A.B.C.D.答案:A解析:∵=(-3,-2,-4),∴(-3,-2,-4)=,即C.16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为().A.B.C.D.答案:C解析:建系如图,则C1(0,1,2),D(1,0,1),A1(0,0,2),C(0,1,0).∴=(1,-1,-1),=(0,1,-2).∴cos<,>=.7.若a=(x,3,1),b=(2,y,4),且a=zb,则c=(x,y,z)=.答案:解析:由a=zb,得所以8.已知a=(2,-3,0),b=(k,0,3),若a,b的夹角为120°,则k=.答案:-解析:由于
=120°,∴cos=-,而cos=.∴=-,解得k=-(k=舍去).9.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a.解:(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),cosθ=,2∴sinθ=.∴S平行四边形=||||sinθ=7.∴以AB,AC为边的平行四边形的面积为7.(2)设a=(x,y,z).由题意,得解得或∴a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).10.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若,,求点D的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.解:(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).因为,,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2),假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.3
