【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用学业分层测评苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(a－b)7的展开式中，二项式系数最大的项是第________________________项，系数最大的项是第________项．【解析】展开式共8项，二项式系数最大的项是第4，第5项，系数最大的项为第5项．【答案】4或552．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的所有二项式的各项系数和是________．【解析】令x＝1，得2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2.【答案】2n＋1－23．(2015·天津高考)在6的展开式中，x2的系数为________．【解析】设通项为Tr＋1＝Cx6－rr＝Crx6－2r.令6－2r＝2得r＝2，∴x2的系数为C2＝.【答案】4．C＋C＋C＋C＋C＝________.【导学号：29440030】【解析】∵C＋C＋…＋C＝210，又C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C，∴C＋C＋C＋C＋C＝29.【答案】295．233除以9的余数是________．【解析】233＝811＝(9－1)11＝911－C910＋C98－…－1，∴233除以9的余数是8.【答案】86．如图156，在“杨辉三角”中，斜线l的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记此数列为{an}，则a21＝________.图156【解析】此数列依次为C；C，C；C，C；C，C；…；C，C；…；a21＝C＝＝66.【答案】667．设a∈Z，且0≤a<13，若512016＋a能被13整除，则a＝________.【解析】512016＋a＝(52－1)2016＋a＝C522016－C522015＋…＋C×52×(－1)2015＋C×(－1)2016＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2016＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.【答案】128．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图157所示．1那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051图157【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有＝且＝.化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．【答案】62二、解答题9．已知(1＋2x)100＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a100(x－1)100，求a1＋a3＋a5＋…＋a99的值．【解】令x＝2，可以得到5100＝a0＋a1＋a2＋…＋a100，①令x＝0，可以得到1＝a0－a1＋a2－…＋a100，②由①②得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(5100－1)．10．已知n的展开式中的倒数第三项的系数是45.(1)求含x3的项；(2)求系数最大的项．【解】已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C＝45，即C＝45，所以n2－n－90＝0，解得n＝－9(不合题意，舍去)或n＝10.(1)即求10展开式中含x3的项．由通项Tr＋1＝C(x－)10－r(x)r＝Cx－＋，得－＋＝3，－30＋3r＋8r＝36,11r＝66，得r＝6.故含有x3的项是第7项T7＝Cx3＝210x3.(2)∵10的展开式共有11项，系数最大项是第6项．∴T6＝C(x－)5·(x)5＝252x.能力提升]1．设m是正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.【解析】由题意可知13C＝7C，∴13·＝7·，∴m＝6.【答案】62．(2016·杨州高二检测)若n的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为________．【解析】由4n＝1024，得n＝5.∴Tr＋1＝C()5－r·r＝(－3)rCx，令＝1，解得r＝1，∴T2＝C(－3)1x＝－15x，故其系数为－15.【答案】－153．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________.【导学号：29440031】2【解析】令x＝－1，则原式化为(－1)2＋1]2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.【答案】－24．(1)求证：5151－1能被7整除；(2)求1.9975精确到0.001的近似值．【解】(1)证明：因为5151－1＝(49＋2)51－1＝C4951＋C4950·2＋…＋C49·250＋C·251－1，易知除C251－1以外其余各项都能被7整除．又因为251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C717＋C716＋…＋C7＋C－1＝7(C716＋C715＋…＋C)显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．(2)1.9975＝(2－0.003)5＝C25－C×24×0.003＋C×23×0.0032－C×22×0.0033＋C×21×0.0034－C×20×0.0035≈32－0.24＋0.00072≈31.761.3
