上海市普陀区2015届高三数学二模试题理（含解析）一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1．不等式的解集为.【答案】【解析】试题分析：由，所以不等式的解集为.考点：不等式.2.若（为虚数单位），则实数.【答案】-1考点：复数的运算.3.若函数的最小正周期为，则.【答案】2【解析】试题分析：，因为函数的最小正周期为，所以.考点：三角函数的性质.4.集合，则.【答案】【解析】试题分析：因为，,所以.考点：集合的基本运算.5.若，则函数的单调递增区间为.【答案】考点：三角函数的性质.6.如图，若，，则以为长半轴，为短半轴，为左焦点的椭圆的标准方程为.【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，且又因为，所以，所以椭圆的方程为.考点：椭圆的性质.7.函数，若函数是偶函数，则1.【答案】1【解析】试题分析：因为函数是偶函数，所以，所以.考点：函数的性质.8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为.【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，所以，所以球的表面积为.考点：向量的应用.9．已知直线和曲线的极坐标方程分别为和，若和相交于两点，则.【答案】【解析】试题分析：由题意可知：直线和曲线的普通方程为和，所以圆心到直线的距离，所以.考点：圆的性质.10.如图，机车甲、乙分别停在处，且，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米.【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，所以由余弦定理可得：所以.考点：正、余弦定理.11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为，则（结果用最简分数作答）.【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，所以.考点：随机变量的期望、方差.12.若正方形的边长为1，且则.【答案】5【解析】试题分析：由题意可知：，所以.考点：向量的运算.13.已知复数满足，，，若，则在复平面上对应的点组成的图形的面积为.【答案】【解析】试题分析：由题意可设，，所以，令，所以，所以在复平面上对应的点组成的图形如图所示：所以在复平面上对应的点组成的图形的面积为.考点：复数的运算、几何意义.14.，用记号表示不小于实数的最小整数，例如，，；则函数的所有零点之和为.【答案】【解析】试题分析：令得，令则，所以，所以原方程等价于，即，所以，所以，相应的值为，所以函数的所有零点之和为.考点：函数性质的应用.二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．表示直线，表示平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若⊥，⊥，则⊥C.若⊥，⊥，则D.若⊥，⊥，则【答案】D【解析】试题分析：A:若，，则或；B：若⊥，⊥，则或；C：若⊥，⊥，则或或异面.考点：空间元素的位置关系.16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】试题解析：若直线与抛物线相切则直线与抛物线只有一个公共点；当直线平行于对称轴时也有一个交点，所以应选A考点：充分必要条件.17．在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项【答案】B【解析】试题解析：在的展开通式为，若第五项的系数与第三项的系数分别为、，所以，所以，展开式中的常数项是第3项.考点：二项式定理.18．已知均为正整数，记为矩阵中第行、第列的元素，且，（其中，）；给出结论：①；②；③④若为常数，则.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】试题解析：由题意可得：每一行都是以1为公差的等差数列，且第一列的前7个数为，所以；；对于③可以检验，当时不成立；由，所以是以1为首项以为公比的等比数列，所以，所以即，所以考点：数列的性质.三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19．已知函数，.（1）若直线是函数的图像的一条对称轴，求的值；（2）若，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)利用降幂公式化简得到的形式，根据直线是函数的图像的对...
