高中数学 第二章 推理与证明 2.2-2.2.2 反证法练习 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．(2014·山东卷)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是()A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案：D5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于()1A．0B.C.D．1解析：假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1矛盾，选项B正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析： 空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．答案：b与c平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.答案：0三、解答题9．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．10．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数．因为a＋b＝c＋d＝1∴(a＋b)(c＋d)＝1又因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd>1矛盾，因此假设不成立．所以a，b，c，d中至少有一个是负数．B级能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值()A．都大于2B．至少有一个不大于2C．都小于2D．至少有一个不小于22解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2则a＋<2，b＋<2，c＋<2∴a＋＋b＋＋c＋<6，①又a，b，c大于0所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.答案：D2．设a，b是两个实数，给出...