考点44几何证明选讲一、填空题1.(2016·天津高考文科·T13)同(2016·天津高考理科·T12)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为.【解题指南】设圆心为O,连接OD,构造三角形,利用相似三角形对应边成比例求解.【解析】设圆心为O,连接OD,AC,可得△BOD∽△BDE,所以BD2=BO·BE=3,所以BD=DE=.因为△AEC∽△DEB,,即,所以EC=.答案:二、解答题2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T22)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T22)选修4-1:几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(1)证明:直线AB与☉O相切.(2)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.【解析】(1)设圆的半径为r,作OK⊥AB于K,因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OK⊥AB,∠A=30°,OK=OA·sin30°==r,所以AB与☉O相切.(2)方法一:假设CD与AB不平行,CD与AB交于F,FK2=FC·FD.①因为A,B,C,D四点共圆,所以FC·FD=FA·FB=(FK-AK)(FK+BK).因为AK=BK,所以FC·FD=(FK-AK)(FK+AK)=FK2-AK2.②由①②可知矛盾,所以AB∥CD.方法二:因为A,B,C,D四点共圆,不妨设圆心为T,因为OA=OB,TA=TB,所以OT为AB的中垂线,又OC=OD,TC=TD,所以OT为CD的中垂线,所以AB∥CD.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T22)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T22)选修4-1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(1)证明:B,C,G,F四点共圆.(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.【解题指南】(1)要证明四点共圆,需要证明四边形对角互补,显然∠DCB=90°,只需证明∠GFB=90°.(2)把四边形BCGF分成两个直角三角形△BCG和△BFG,求这两个直角三角形的面积的和.【解析】(1)因为DF⊥CE,所以Rt△DEF∽Rt△CDF,所以∠GDF=∠DEF=∠BCF,.因为DE=DG,CD=BC,所以,所以△GDF∽△BCF,所以∠CFB=∠DFG,所以∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,所以∠GFB+∠GCB=180°.所以B,C,G,F四点共圆.(2)因为E为AD中点,AB=1,所以DG=CG=DE=,所以在Rt△GFC中,GF=GC,连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,所以S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=.4.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,☉O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为=,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.因为∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.【解析】(1)连接PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.因为,所以∠PBA=∠PCB,又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.(2)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在EC的垂直平分线上,又在FD的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上,又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.6.(2016·江苏高考T21)A.【选修4—1几何证明选讲】(本小题满分10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.【解题指南】根据直角三角形的性质证明∠EDC与∠ABD都等于∠C.【证明】由BD⊥AC可得∠BDC=90°,由E是BC中点可得DE=CE=BC,则∠EDC=∠C,由∠BDC=90°可得∠DBC+∠C=90°,由∠ABC=90°可得∠ABD+∠DBC=90°,因此∠ABD=∠C,又∠EDC=∠C,可得∠EDC=∠ABD.7.(2016·北京高考理科·T17)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦...
