高中数学 黄金100题系列 第66题 空间几何体的外接球与内切球 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第66题空间几何体的外接球与内切球I．题源探究·黄金母题【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，求球的体积．【解析】设球的半径为，由正方体与球的组合结构特征知，正方体的体对角线为球的直径，所以，即，所以球的体积为＝＝．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标3理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．C．D．【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是，故选B.【例3】【2017天津理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】【解析】设正方体边长为，则，外接球直径为.【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.【例4】【2016全国新课标Ⅲ卷】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）A．B．C）6πD．【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．【例5】【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．BOAC【例6】【2014全国大纲卷】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是()A．B．16C．9D．【答案】A【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为，球心为，正四棱锥底面中心为为,则垂直棱锥底面，,所以，解得，所以球的表面积=，故选A．【例7】【2013新课标I卷】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A．B．C．D．【答案】A【解析】设球的半径为，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为，则，解得，∴球的体积为=，故选A．精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第28页练习第2题．【母题评析】本题是球的正方体构成的组合体问题，因这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现．【思路方法】根据所涉及到几何体组合的结构特征，寻求代表它们的几何量间的关系，通常建立方程简单的等式来求解，主要体现为方程思想与转化思想的应用．【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系．III．理论基础·解题原理考点一棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成；棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成；棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为的正方体的表面积，长、宽、高分别为的长方体的表面积．考点二圆体的表...