课时作业9求曲线的方程时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若点M到两坐标轴的距离的积为2008，则点M的轨迹方程是()A．xy＝2008B．xy＝－2008C．xy＝±2008D．xy＝±2008(x>0)答案：C2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是()A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：设P点的坐标为(x，y)，则＝3，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.答案：A3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得：x2＋y2＝4.∵M、N、P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D4．已知A、B两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线MA与MB的斜率之积为－，则M的轨迹方程是()A.＋＝1B.＋＝1(x≠±5)C.＋＝1D.＋＝1(x≠0)解析：设M的坐标为(x，y)，则kMA＝，kMB＝.由题知·＝－(x≠0)，即＋＝1(x≠0)．答案：D5．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且AM＝4MB，则点M的轨迹方程是()A．x2＋16y2＝64B．16x2＋y2＝64C．x2＋16y2＝8D．16x2＋y2＝8解析：设M(x，y)、A(a,0)、B(0，b)，1则a2＋b2＝100.∵AM＝4MB，∴即代入a2＋b2＝100，得25x2＋y2＝100，即16x2＋y2＝64.答案：B6．平面上有三点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：∵A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)∴AB＝(2，－)，BC＝(x，)．∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0.得2·x－·＝0得y2＝8x.答案：A二、填空题(每小题8分，共24分)7．圆心为(1,2)且与直线5x－12y－7＝0相切的圆的方程是________．解析：圆心到直线的距离等于半径，则r＝＝＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.答案：(x－1)2＋(y－2)2＝48．已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，则直角顶点M的轨迹方程是________．图1解析：设点M的坐标为(x，y)．由AM⊥BM，得kAM·kBM＝－1，即·＝－1，化简得x2＋y2＝a2.因为M、A、B三点不共线，点M的纵坐标y≠0，从而x≠±a，所以所求轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．答案：x2＋y2＝a2(x≠±a)9．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为1∶2两部分，则点Q的轨迹方程为__________．解析：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．∵Q分线段OP为1∶2，∴OQ＝QP.∴即∵点P在直线l上，∴2x1＋4y1＋3＝0.把x1＝3x，y1＝3y代入上式并化简，得2x＋4y＋1＝0为所求轨迹方程．答案：2x＋4y＋1＝02三、解答题(共40分)10．(10分)已知点M到点F(0,1)和直线l：y＝－1的距离相等，求点M的轨迹方程．图2解：设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q是点M到直线y＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得＝|y＋1|，将上式两边平方，得x2＋(y－1)2＝(y＋1)2，化简，得y＝x2.①下面证明方程①是所求轨迹的方程．(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，那么y1＝x，即x＋(y1－1)2＝(y1＋1)2，＝|y1＋1|，|M1F|＝|M1Q1|.其中Q1是点M1到直线y＝－1的垂线的垂足，因此点M1是曲线上的点．由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图2所示．11．(15分)已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.求动点M的轨迹方程．解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)，设M(x，y)为轨迹上任意一点，则|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.因为|MA|＝，|MB|＝，|MC|＝，|MD|＝.所以＝.化简，得y2－x2＋6＝0.所以所求轨迹方程为y2－x2＋6＝0.图312．(15分)如图3所示，已知A(－3,0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足AB⊥BP，BC＝CP，试求动点P的轨迹方程．解：设P(x，y)，B(0，y′)，C(x′，0)，3则BC＝(x′，－y′)，CP＝(x－x′，y)，由BC＝CP，得(x′，－y′)＝(x－x′，y)，即x′＝，y′＝－，∴B，C.又A(－3,0)，∴AB＝，BP＝.由AB⊥BP，得AB·BP＝0，∴3x－y2＝0，得y2＝4x，即为动点P的轨迹方程．4
