第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]考点2016年2015年2014年2013年2012年平面向量的线性运算8,5分(理)17,4分(理)5,5分(理)15,4分(理)平面向量的基本定理及坐标表示13,4分(文)7,5分(理)平面向量的数量积15,4分(理)15,4分(文)13,4分(文)8,5分(理)9,5分(文)17,4分(理)5,5分(理)15,4分(理)向量的综合应用15,4分(文)15,4分(理)7,5分(理)7,5分(文)复数的概念及运算2,5分(理)11,4分(文)1,5分(理)2,5分(文)2,5分(理)2,5分(文)[重点关注]从近五年浙江高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容．主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以客观题的形式出现，难度以容易题为主．第一节平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律1加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．()(4)△ABC中，D是BC的中点，则AD＝(AC＋AB)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－ACA[AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋(AC－AB)＝AC－AB＝－AB＋AC.故选A.]3．(2017·绍兴质检)设点P是△ABC所在平面内一点，且BC＋BA＝2BP，则PC＋PA＝________.0[因为BC＋BA＝2BP，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故PC＋PA＝0.]4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．b－a－a－b[如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，2BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.]5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.【导学号：51062134】－[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴得]平面向量的有关概念给出下列六个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若AB＝DC，则ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB＝DC，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是平行四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a＝0时，λa＝0.⑥不正确．对于非零向量a，b，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．][规律方法]1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量．[变...
