考点测试15导数的应用(一)一、基础小题1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案A解析f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．2．设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点答案D解析f(x)＝＋lnx(x>0)，f′(x)＝－＋＝，x>2时，f′(x)>0，这时f(x)为增函数；0
0时，f′(x)＝ex－1>0，x<0时，f′(x)＝ex－1<0，即函数在x＝0处取得极小值，f(0)＝1.又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，综合比较得函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是e－1.故选D.4．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案C解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)，选C.5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()答案D解析当x<0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c<0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x>0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－)∪[，＋∞)B．[－，]C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－，)答案B解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，－≤a≤.7．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析 f(x)＝－x2＋x＋1，∴f′(x)＝x2－ax＋1.若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则f′(x)＝x2－ax＋1在区间内有零点，由f′(x)＝x2－ax＋1＝0，可知a＝x＋. 函数y＝x＋在上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴y∈，即2≤a<.当a＝2时，由f′(x)＝0解得x＝1，而f(x)在，(1,3)上单调性相同，故不存在极值点，则a≠2.综上可知，21，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为()A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数，又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.二、高考小题9．[2016·四川高考]已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2答案D解析由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴函数f(x)在x＝2处取得极小值，则a＝2.故选D.10．[2015·安徽高考]函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0D．a>0，b>0，c>0，d<0答案A解析 函数f(x)的图象在y轴上的截距为正值，∴d>0. f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在(－∞，x1)上单调递增，(x1，x2)上单调递减，(x2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)<0的解集为(x1，x2)，∴a>0，又x1，x2均为正数，∴>0，－>0，可得c>0，b<0.11．[2016·全国卷Ⅰ]若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B.C.D.答案C解析函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos2x＋a...
