1导数与函数的单调性[基础达标]1
函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A
f′(x)＝2－cosx，因为cosx∈[－1，1]，所以2－cosx＞0恒成立，即f′(x)＞0恒成立，故选A
函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1)B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1]解析：选B
f′(x)＝x－＝(x>0)，由题意可知得00时，函数图像先增加后减小再增加，其对应的导数是，先有f′(x)>0，再有f′(x)0，因此D符合条件．对于R上的任意连续函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)解析：选C
由题意，当x>1时，f′(x)≥0，当x0时，f(x)的单调递增区间为[lna，＋∞)．(1)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)在[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．(2)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2x－＝
要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0，即≥0在[2，＋∞)上恒成立． x2>0，∴2x3－a≥0，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤(2x3)min
函数y＝2x3在[2，＋∞)上是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是{a|a≤16}．(2)f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a，当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′()＝＋2a，令＋2a>0，得a>－
即当f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间时，a的取值范围是(－，＋∞)．[能力提升]定义在R上的函数f(x
