4.1.1导数与函数的单调性[基础达标]1.函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A.f′(x)＝2－cosx，因为cosx∈[－1，1]，所以2－cosx＞0恒成立，即f′(x)＞0恒成立，故选A.2.函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1)B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1]解析：选B.f′(x)＝x－＝(x>0)，由题意可知得00，x>0时，函数图像先增加后减小再增加，其对应的导数是，先有f′(x)>0，再有f′(x)<0，最后f′(x)>0，因此D符合条件．对于R上的任意连续函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)解析：选C.由题意，当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，由于函数f(x)为连续函数，所以f′(1)＝0必成立．所以函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)，所以f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，所以f(0)＋f(2)≥2f(1)．5.若函数f(x)＝x2＋ax＋在(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是()A．[－1，0]B．[－1，＋∞)C．[0，3]D．[3，＋∞)解析：选B.f′(x)＝2x＋a－≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≥－2x，∴a≥－1.即a的取值范围是[－1，＋∞)．6.函数f(x)＝excosx，则f与f的大小关系为________．解析： f′(x)＝ex(cosx－sinx)，∴是函数f(x)的一个单调递增区间，又0<<<，∴f0)，由题意知2x－≤0，即m≥2x2在(0，1]上恒成立，∴m≥2.即实数m的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．解析：由题意知，y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，所以Δ＝(－2a)2－4>0得a2>1，解得a<－1或a>1.即a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)已知f(x)＝ex－ax，求f(x)的单调递增区间．解：因为f(x)＝ex－ax，所以f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0得ex≥a，当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；1当a>0时，f(x)的单调递增区间为[lna，＋∞)．(1)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)在[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．(2)设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2x－＝.要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0，即≥0在[2，＋∞)上恒成立． x2>0，∴2x3－a≥0，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立，∴a≤(2x3)min. 函数y＝2x3在[2，＋∞)上是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是{a|a≤16}．(2)f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a，当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′()＝＋2a，令＋2a>0，得a>－.即当f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间时，a的取值范围是(－，＋∞)．[能力提升]定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1，且f(4)＝1，则的取值范围是()A.B.∪(5，＋∞)C．(－∞，3)D.解析：选D.由图像可知f(x)在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f(2a＋b)<1即2a＋b<4，原题等价于，求的取值范围．画出不等式组表示的可行区域(图略)，利用直线斜率的意义可得∈.设函数f(x)在R上满足f(x)＋xf′(x)>0，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，则a与b的大小关系为________．解析：设函数F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，∴F(x)＝xf(x)在R上为增函数，又 30.3>1，logπ3<1，∴30.3>logπ3，∴F(30.3)>F(logπ3)，∴30.3f(30.3)>logπ3f(logπ3)，∴a>b.答案：a>b证明方程x－sinx＝0有唯一解．证明：设f(x)＝x－sinx，当x＝0时，f(0)＝0，所以x＝0是方程x－sinx＝0的一个解．因为f′(x)＝1－cosx，当x∈R时，f′(x)>0恒成立，所以函数f(...
