高二数学椭圆及其标准方程椭圆的几何性质知识精讲人教版一.本周教学内容：§2.7椭圆及其标准方程§2.8椭圆的几何性质二.重点、难点：1.椭圆的定义：平面上到两定点F1，F2的距离之和为一定值2a的点P的轨迹（2a>|F1F2|），叫做椭圆。F1，F2叫做椭圆的焦点，|F1F2|＝2c叫做椭圆的焦距。注：若2a＝|F1F2|，即|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，则P点的轨迹是线段F1F2，若2a<|F1F2|，则P点的轨迹不存在。B2PA1F1OF2A2B12.椭圆的标准方程：注意到椭圆的对称性，因此可按如下方式建立直角坐标系，即以两焦点F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系（如上图），如此以来，根据椭圆的定义，则易求得椭圆的标准方程为xaybbacb222222210（其中，）易知：，，可见，，||||||||||||AAaBBbOAOAaOBOBb1212211222，因x轴，y轴分别为椭圆的对称轴，且|A1A2|>|B1B2|，故把A1A2叫做长轴，B1B2叫做短轴，则a表示半长轴长，b表示半短轴长，若椭圆的焦点F1、F2在y轴上，且F1F2的中点为原点，则椭圆的另一标准方程为yaxbbacb222222210（，）注意：（1）焦点在长轴上，由于焦点所在坐标系中的位置不同，因而椭圆的标准方程形式有所不同，若焦点在x轴上，则x2对应的分母为较大者a2；若焦点在y轴上，则y2对应的分母为较大者a2。（2）a，b，c为刻划椭圆的基本量，是重要的定形条件，其关系为a2＝b2＋c2，且a>0，b>0，c>0，它们有明显的几何意义。3.椭圆的几何性质：我们仅以方程为的椭圆为例。xayb22221（）椭圆位于四条直线，所围成的矩形内。1xayb（2）椭圆关于x轴，y轴分别成轴对称，且关于原点成中心对称（原点O称为椭圆的中心）。（）焦点为，，，。30012FcFc()()（）顶点为，，，，，，，400001212AaAaBbBb()()()()（）若是椭圆上一点，则定值。5212PPFPFa||||（）若是椭圆上一点，则到右焦点的距离与到右准线：的距离之比等622PPFPxacl用心爱心专心于离心率；到左焦点的距离与到左准线：的距离之比等于离心率。ecaPFPxaceca12l（是一个刻划椭圆扁圆程度的量，）ecae014112222000202.()过椭圆上任一点，的切线方程为xaybPxyxxayyb（这一结论可由直线与椭圆相切的充要条件，采用Δ法导出）5122221122.()()若直线：与椭圆相交于两交点，，，，则弦长lykxbxaybAxyBxy||||ABkxx1212。（而||()()xxxxxxxx12122122124，为此，求弦长时可考虑利用韦达定理）6.由椭圆的几何性质（6），可导出如下结论：若，是椭圆上一点，，是左、右焦点，则PxyxaybFF()002222121||||PFaexPFaex1020，。（我们把|PF1|，|PF2|称为椭圆的焦半径）注：本单元的两种类型的问题：（1）已知椭圆满足的几何条件，求椭圆的方程；（2）已知椭圆的方程，研究椭圆中的某些几何关系。【典型例题】例1.已知ΔABC一边BC的长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。分析：研究轨迹方程问题，通常有两种思考方向：<1>直接求轨迹方程；<2>先判断动点的轨迹类型，而后利用待定系数法求轨迹方程，本题则属于第<2>种，但是需要注意的是题目条件中并未给出坐标系，应根据已知选择合适的坐标系，才能进一步求轨迹方程。解：||||()ABAC166106∴顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（去掉长轴上的两个顶点），以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。则，，，，从而21026534acacb椭圆的方程为xy2225161从而顶点的轨迹方程为Axyy22251610()例2.过点M（3，2）且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆的方程为________。分析：由已知方程得其标准形式xyx22941，其焦点在轴上，且坐标为F150()，，Fx250()，，可见所求的椭圆是焦点在轴上的椭圆，设其方程为xayb22221，则ababab222222259411510()所求椭圆的方程为xy2215101用心爱心专心例3.已知P为椭圆xaybabFFPFPFP2222121210()上的一点，，是两焦点，且，若到两准线的距离分别为6和12，求椭圆方程。F1F2P分析：欲求椭圆方程，只需求出方程中的系数a2，b2，为此需利用已知...
