课时分层作业(二十一)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以坐标原点为顶点，直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4xD[由题意可设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，由＝1，得p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x，故选D.]2．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是()A．y2＝－x或x2＝yB．y2＝x或x2＝yC．y2＝x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－yA[直线方程可化为a(x＋2)－x－y＋1＝0，由，得P(－2,3)，经检验知A正确．]3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，x1＋x2＝3p，则|PQ|等于()A．4pB．5pC．6pD．8pA[设抛物线的焦点为F，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝3p＋p＝4p.]二、填空题4．已知抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标是________．[解析]设M(x0，y0)，把抛物线y＝4x2化为标准方程，得x2＝y.则其准线方程为y＝－，由抛物线的定义，可知y0－＝1，得y0＝，代入抛物线的方程，得x＝×＝，解得x0＝±，则M的坐标为.[答案]5．抛物线x2＝2y上的点M到其焦点F的距离MF＝，则点M的坐标是________．[解析]设点M(x，y)，抛物线准线为y＝－，由抛物线定义，y－＝，y＝2，所以x2＝2y＝4，x＝±2，所以点M的坐标为(±2,2)．[答案](±2,2)6．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．[解析]如图，由抛物线的定义知，AM＋BN＝AF＋BF＝3，CD＝，所以中点C的横坐标为－＝，即C到y轴的距离为.[答案]7．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．[解析]设动圆半径为r，动圆圆心O′(x，y)到点(2,0)的距离为r＋1.O′到直线x＝－1的距离为r，∴O′到(2,0)的距离与O′到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.[答案]y2＝8x18．若抛物线y2＝8x的焦点恰好是双曲线－＝1(a＞0)的右焦点，则实数a的值为________．[解析]抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，则双曲线－＝1(a＞0)的右焦点也为(2,0)，从而a2＋3＝4，解得a＝±1.因为a＞0，故舍去a＝－1，所以a＝1.[答案]1三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．[解]法一：由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F，因为点M在抛物线上，且MF＝5，所以有解得或故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m的值为±2.法二：由题可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F，准线方程为x＝，根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，则3＋＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.又点M(－3，m)在抛物线上，∴m2＝24，∴m＝±2.10．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．[解]由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，则焦点为. 焦点在双曲线－＝1上，∴＝1，求得m＝±4，∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.[能力提升练]1．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影为M，点A，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.B．4C.D．5C[设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F，又点A在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，所以|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.故选C.]2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．[解析]因为抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，所以直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，则△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.[答案]y2＝8x或y2＝－8x3．已知点P是抛物线y2＝4x上的点，设点P到抛物线准线的距离为d1，到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．[解析]由抛物线的定义得P到抛物线准线的距离为d1＝PF，d1＋d2的最小值即为抛物线的焦点F(1,0)到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点Q的距离的最小值，最小值为F与圆心的2距离...
