解答题规范练(四)1．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且bsinA－acosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝3，求AC边上中线长的最小值．2．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1⊥BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值．3．已知函数f(x)＝x－alnx＋b，a，b为实数．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋3，求a，b的值；(2)若|f′(x)|<对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．14.已知抛物线C：y2＝2x，过点M(2，0)的直线l交抛物线C于A，B两点．点P是直线x＝－上的动点，且PO⊥AB于点Q.(1)若直线OP的倾斜角为，求|AB|；(2)求的最小值及取得最小值时直线l的方程．5．已知正项数列{an}满足：a1＝，a＝an－1an＋an－1(n≥2)．Sn为数列{an}的前n项和．(1)求证：对任意正整数n，有≤；(2)设数列{}的前n项和为Tn，求证：对任意M∈(0，6)，总存在正整数N，使得n>N时，Tn>M.2解答题规范练(四)1．解：(1)由正弦定理得，sinBsinA－sinA·cosB＝0，因为0
0，h′(x)＝1－>0，所以g(x)在[2，3]上是增函数，h(x)在[2，3]上是增函数，所以gmax(x)＝g(3)＝2，hmin(x)＝h(2)＝.所以a的取值范围是[2，]．4．解：(1)因为直线OP的倾斜角为，所以直线l：y＝x－2，由消去y得x2－6x＋4＝0，所以|AB|＝×＝2.(2)设l：x＝my＋2，由消去x得y2－2my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以，所以|AB|＝.又直线PQ的方程为y＝－mx，所以P.于是点P到直线l的距离d＝|PQ|＝·，所以＝3.令m2＋4＝t(t≥4)，令f(t)＝＝t＋－6，所以f(t)在[4，＋∞)上单调递增，所以f(t)min＝f(4)＝，此时m＝0.所以＝3≥3＝，即的最小值为，此时直线l：x＝2.5．证明：(1)因为an＋1－an＝<1，所以n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1an>0，a1＝＝，a2＝1.因为f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，所以an＋1－an＝≥＝，从而an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1≥(n－1)＋＝，当n≥2时，＝＝＋，＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝＋－≥6－，令6－>M，n>.设N0为不小于的最小整数，取N＝N0＋1(即N＝[]＋1)，当n>N时，Tn>M.5
