高中数学 黄金100题系列 第63题 空间平行关系的证明 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第63题空间平行关系的证明I．题源探究·黄金母题【例1】如图，在空间四边形中，分别是的中点，求证：（1）平面；（2）平面；．【解析】（1） 分别为的中点，∴为的中位线，∴， 平面，平面，∴平面．（2） 分别为的中点∴为的中位线，∴． 平面，平面，∴平面．II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点。（1）证明：直线平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2)。【解析】分析：(1)取的中点，连结，，由题意证得∥，利用线面平行的判断定理即可证得结论；解析：（1）取的中点，连结，。因为是的中点，所以∥,,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。又平面，平面，故平面。（2）略【名师点睛】平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型；证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.【例3】【2015福建理17】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．GFBACDE【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．【解析】解法一：（Ⅰ）如图，取的中点，连接，，又G是BE的中点，，、又F是CD中点，，由四边形ABCD是矩形得，，所以．从而四边形是平行四边形，所以，又，所以．HGFBACDE解法二：(Ⅰ)如图，取中点，连接，，又是的中点，可知，又面，面，所以平面．在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得．又面，面，所以面．又因为，面，面，所以面平面，因为面，所以平面．MGFBACDE（Ⅱ）略【技巧点拨】证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；【例4】【2017浙江19】如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】分析：（Ⅰ）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可求证；解析：（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连结EF，FB．因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，又因为，，所以且，即四边形BCEF为平行四边形，所以，因此平面PAB．（Ⅱ）略【名师点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．III．理论基础·解题原理考点直线、平面平行的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线...