15导数与单调性1．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________．答案[－2，＋∞)解析由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是________．答案[－2，＋∞)解析依题意知，x>0，f′(x)＝，令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，当－≤0时，g(0)＝1>0恒成立，∴m≥0成立，当－>0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m<0，综上，m的取值范围是m≥－2.3．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是________．①af(b)>bf(a);②af(a)>bf(b)；③af(a)－f(x)，得xf′(x)＋f(x)>0，即F′(x)>0，所以F(x)在R上为递增函数．因为a>b，所以af(a)>bf(b)．4．(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________________．答案(－∞，－2)∪(0,2)解析x>0时′<0，∴φ(x)＝为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当00，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)．6．函数f(x)的定义域为(0，)，f′(x)是它的导函数，且f(x)f();②f(1)<2f()sin1；③f()>f();④f()0，所以g(x)在(0，)上单调递增，所以g()0时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．8．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x>0恒成立，m≥－2＋，令g(x)＝－2＋，则当＝1时，函数g(x)取最大值1，故m≥1.9．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围为________．答案(－，＋∞)解析由已知得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a.当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′()＝＋2a.令＋2a>0，得a>－.所以当a>－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间．10．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0. ex>0，∴－x2＋2>0，解得－0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝[－(a－2)]2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立， ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．而Δ＝[－(a－2)]2＋4a＝a2＋4>0，故函数f(x)不可能在R上单调递增．综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数．11．已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e1－a，当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(e1－...
