阶段质量检测（一）解三角形(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k＞0)，A＝45°，则满足条件的三角形有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选A由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＞1，即sinB＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．2．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝()A.或B.C.D.解析：选C由＝，得sinC＝. BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.3．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB＝()A．±B.C．－D.解析：选A因为＝，所以＝，解得sinB＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cosB＝±.4．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6解析：选B (b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴＝＝.令＝＝＝k(k>0)，则解得∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选B由已知可得＝－，即cosA＝，b＝ccosA.法一：由余弦定理得cosA＝，则b＝c·，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．法二：由正弦定理，得sinB＝sinCcosA．在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosC＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．6．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为()A．2B．8C.D.解析：选C ＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝＝＝.7．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为()A.B.C.D.解析：选B 三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2， sinα＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin120°＝.8.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A.B.C.D.解析：选D设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝＝.又 A为△ABC的内角，∴sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝.∴sinC＝·sinA＝·＝.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．在△ABC中，已知＝＝，则这个三角形的形状是________．解析：由正弦定理＝＝得＝＝，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C，三角形ABC为等边三角形．答案：等边三角形10．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则A＝________，a∶b∶c＝________.解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，即a∶b∶c＝sin30°∶sin30°∶sin120°＝1∶1∶.答案：30°1∶1∶11．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则B＝________，△ABC的面积等于________．解析：由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.答案：12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________，三角形的形状为________．解析： b＝2a，由正弦定理，得sinB＝2sinA，又B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinA＋cosA＝2sinA，∴tanA＝.又0°＜A＜180°，∴A＝30°，B＝90°.答案：30°直角三角形13．已知三角形ABC中，BC边上的高与BC边长相等，则＋＋的最大值是________．解析：由题意得，bcsinA＝a2⇒bcsinA＝a2，因此＋＋＝＋＋＝＝＝2cosA＋2sinA＝2sin≤2，从而所求最大值是2.答案：214．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，b＝3，则sinC＝________，c＝________.解析：在△ABC中， cosA＝>0，∴sinA＝. cosB＝>0，∴sinB＝.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理知＝，∴c＝＝＝.答案：15．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一...
