2-2-3独立重复试验与二项分布1．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ≤3)等于()A.B.C.D.[解析]P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C×6＋C·6＋C·6＋C·6＝.[答案]C2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为()A.B.3×C.×D．C×3×[解析]由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球，故其概率为3×.[答案]B3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为()A．C3×B．C2×C．C3×D．C3×[解析]在一次比赛中甲获胜的概率为，输的概率为.由题意知，甲队打完4局才胜，则第4局甲必胜，前3局中有2局甲胜，故甲队打完4局才胜的概率为C3×.[答案]A4．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥1)＝________.[解析]P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝.即(1－p)2＝，解得p＝，故P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)4＝1－4＝.[答案]课内拓展课外探究1．求随机事件概率的步骤第一步，确定事件的性质，古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验，然后把所给问题归结为四类事件中的某一类；第二步，判断事件的运算，和事件、积事件，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，运用公式，古典概型：P(A)＝；互斥事件：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；条件概率：P(B|A)＝；独立事件：P(AB)＝P(A)P(B)；n次独立重复试验：Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k求得．概率问题常常与排列、组合知识相结合．某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是.构造数列{an}，使an＝记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.(1)求S8＝2的概率；(2)求S2≠0且S8＝2的概率．1[解](1)S8＝2，需要8次中有5次正面，3次反面，则S8＝2的概率为P1＝C5·3＝.(2)S2≠0，即前2次同时出现正面或同时出现反面．①当前2次同时出现正面时，S2＝2，要使S8＝2，则需要后6次出现3次反面，3次正面，相应的概率为P2＝××C33＝.②当前2次同时出现反面时，S2＝－2，要使S8＝2，则需要后6次出现5次正面，1次反面，相应的概率为P3＝×C5×1＝.所以S2≠0，且S8＝2的概率为P2＋P3＝.[点评]此题以数列的和为载体，实际是一个典型的n次独立重复试验恰有k次发生的问题，不过用相关知识前，需要进行有效的转化．2．服从二项分布的随机变量取何值时概率最大问题一般地，若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，其中0
n，则k取n时P(X＝k)最大；(2)如果(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k取(n＋1)p－1和(n＋1)p时，P(X＝k)都达到最大值；(3)如果(n＋1)p是不超过n的非整数，由于k≤(n＋1)p当且仅当k≤[(n＋1)p](注：[(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)，故k取[(n＋1)p]时P(X＝k)最大．十层电梯从底层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？[解]依题意，从底层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，停9次．∴从底层到顶层停不少于3次的概率p＝C3·6＋C45＋C54＋…＋C9＝(C＋C＋C＋…＋C)9＝[29－(C＋C＋C)]·9＝(29－46)9＝.设从底层到顶层停k次，则其概率为Ck9－k＝C9，∴当k＝4或k＝5时，C最大，即C9最大．故从底层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次的概率最大．[点评]二项分布中的Cpkqn－k正好是(q＋p)n的二项展开式Cqnp0＋Cqn－1p1＋…＋Cqn－kpk＋…＋Cq0pn中的第k＋1项，故可以利用二项式系数的增减性求最值．23
