空间角的大小比较及最值(范围)问题知识拓展1.空间角的大小比较是每年高考的常考题型，以选择题的形式考查，主要类型有线线角间的大小比较、线面角间的大小比较、面面角间的大小比较及线线角、线面角、面面角间的大小比较，主要方法有计算法、元素比较法、三角函数值比较法及利用最小角定理等方法.2.立体几何动态问题中空间角的最值及范围也是常见到的题型，常与图形转折、点线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法，不等式法等.题型突破题型一空间角的大小比较类型1同类角间的大小比较【例1－1】(1)(2020·嘉兴测试)已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1＝a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC1上一点E满足CC1＝3CE，设异面直线A1B与AD1，A1B与D1B1，AE与D1B1的所成角分别为α，β，γ，则()A.α＜β＜γB.γ＜β＜αC.β＜α＜γD.α＜γ＜β(2)(2017·浙江卷)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，＝＝2，分别记二面角D－PR－Q，D－PQ－R，D－QR－P的平面角为α，β，γ，则()A.γ＜α＜βB.α＜γ＜βC.α＜β＜γD.β＜γ＜α解析(1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 长方体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，AA1＝a，AB＝b，且a＞b，侧棱CC1上一点E满足CC1＝3CE，∴A1(b，0，a)，B(b，b，0)，A(b，0，0)，D1(0，0，a)，B1(b，b，a)，E，A1B＝(0，b，－a)，AD1＝(－b，0，a)，D1B1＝(b，b，0)，AE＝，cosα＝＝＝，cosβ＝＝，cosγ＝＝0， a＞b＞0，∴cosα＞cosβ＞cosγ＝0，∴α＜β＜γ，故选A.(2)如图①，作出点D在底面ABC上的射影O，过点O分别作PR，PQ，QR的垂线OE，OF，OG，连接DE，DF，DG，则α＝∠DEO，β＝∠DFO，γ＝∠DGO.由图可知它们的对边都是DO，∴只需比较EO，FO，GO的大小即可.如图②，在AB边上取点P′，使AP′＝2P′B，连接OQ，OR，则O为△QRP′的中心.设点O到△QRP′三边的距离为a，则OG＝a，OF＝OQ·sin∠OQF＜OQ·sin∠OQP′＝a，OE＝OR·sin∠ORE＞OR·sin∠ORP′＝a，∴OF＜OG＜OE，∴＜＜，∴α＜γ＜β.答案(1)A(2)B类型2不同类型角间的大小比较【例1－2】(1)(2019·浙江卷)设三棱锥V－ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P－AC－B的平面角为γ，则()A.β<γ，α<γB.β<α，β<γC.β<α，γ<αD.α<β，γ<β(2)(一题多解)(2018·浙江卷)已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S－AB－C的平面角为θ3，则()A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1解析(1)由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等.因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角β小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB与平面ABC所成的角小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β<γ；因为AC⊂平面ABC，所以直线PB与直线AC所成的角α大于直线PB与平面ABC所成的角β，即α>β.故选B.(2)法一由题意知四棱锥S－ABCD为正四棱锥，如图，连接AC，BD，记AC∩BD＝O，连接SO，则SO⊥平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得AB⊥SM，则θ2＝∠SEO，θ3＝∠SMO，易知θ3≥θ2.再根据最小角定理知θ3≤θ1，所以θ2≤θ3≤θ1，故选D.法二如图，不妨设底面正方形的边长为2，E为AB上靠近点A的四等分点，E′为AB的中点，S到底面的距离SO＝1，以EE′，E′O为邻边作矩形OO′EE′，则∠SEO′＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SE′O＝θ3.由题意得tanθ1＝＝，tanθ2＝＝＝，tanθ3＝1，此时tanθ2＜tanθ3＜tanθ1，可得θ2＜θ3＜θ1，当E在AB中点处时，θ2＝θ3＝θ1，故选D.答案(1)B(2)D【训练1】(1)(2020·浙江十校联盟适考)已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均相等，侧棱AA1⊥平面ABC.过AB1作平面α与BC1平行，设平面α与平面ACC1A1的交线为l，记直线l与直线AB，BC，CA所成锐角分别为θ，β，γ，则这三个角的大小关系为()A.θ＞γ＞...
