第9章计数原理与概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．（2014新课标全国卷Ⅰ，5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.解析：由题知所求概率P＝＝.答案：D2．（2014广东，5分）设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A．130B．120C．90D．60解析：易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有CC＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C＋CC＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C＋CC＋CC＝80种情况．综上知，满足条件的元素个数共有10＋40＋80＝130(种)，故答案为A.答案：A3．（2014安徽，5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：选C法一：直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对，又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对)，又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有×96＝48(对)．法二：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C－12－6＝48.答案：C4．（2014福建，5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析：选A分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.答案：A5．（2013山东，5分）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279解析：本题考查分步乘法计数原理的基础知识，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.答案：B6．（2012山东，5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484解析：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，剩余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．答案：C7．（2010天津，5分）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条...
