小题对点练(二)三角函数与平面向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．在△ABC中，(b－c)2＝a2－3bc，则角A等于()A.B.C.D.B[(b－c)2＝a2－3bc，即b2－2bc＋c2＝a2－3bc，所以b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝－， A∈(0，π)，∴A＝，故选B.]2．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为()A.B.C.D．－A[(a＋b)⊥a⇒(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0⇒a·b＝－4，cos〈a，b〉＝＝＝－，∴〈a，b〉＝.]3．先将函数y＝2sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的一半，再将得到的图象向左平移个单位，则所得图象的对称轴可以为()A．x＝－B．x＝C．x＝－D．x＝D[将函数y＝2sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的一半得y＝2sin2x，再向左平移个单位得y＝2sin2＝2sin，令2x＋＝kπ＋，即x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故选D.]4．已知锐角α满足cos＝cos2α，则sinαcosα等于()A.B．－C.D．－A[由cos＝cos2α，得cosαcos＋sinαsin＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)， α∈∴sinα＋cosα＞0，则cosα－sinα＝.两边平方得：1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝.]5．y＝cos(－π≤x≤π)的值域为()A.B．[－1,1]C.D.C[由－π≤x≤π，可知－≤≤，－≤－≤，函数y＝cosx在区间内单调递增，在区间内单调递减，且cos＝－，cos＝，cos0＝1，因此所求值域为，故选C.]6．在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，BC＝2，则AB·AC＝()A.1B.2C.－2D.－1C[AB·AC＝(AD＋DB)(AD＋DC)＝(AD＋DB)(AD－DB)＝AD2－DB2＝4－6＝－2，故选C.]7．在△ABC中，若a＝，b＝，A＝30°，则边c的长度等于()A．2B.C．2或D．以上都不对C[ a＝，b＝，A＝30°，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得：5＝15＋c2－3c，即c2－3c＋10＝0，解得：c＝2或c＝，则c＝2或.]8．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图1所示，则函数的一个表达式为()图1A．y＝－4sinB．y＝4sinC．y＝－4sinD．y＝4sinA[由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A＝±4，观察图象可得函数的周期T＝16，ω＝＝，若A＝4，则y＝4sin，当x＝6时，x＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z， |φ|＜，∴φ∈∅；当A＝－4，又函数的图象过(2，－4)代入可得sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z， |φ|＜，∴φ＝，∴函数的表达式y＝－4sin，故选A.]9．(2018·北京西城模拟)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0，＋∞)B．(－∞，3)C．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D．[－3,3)C[根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量c都可以唯一地表示为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则向量a，b不共线，由a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)得2m－3≠3m，解得m≠－3，即实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，故选C.]10．已知向量AB，AC，AD满足AC＝AB＋AD，|AB|＝2，|AD|＝1，E，F分别是线段BC，CD的中点，若DE·BF＝－，则向量AB与AD的夹角为()A.B.C.D.B[DE＝AB－，BF＝AD－，∴DE·BF＝－－＋＝－＋AB·AD＝－.∴AB·AD＝1，cos〈AB，AD〉＝，∴AB与AD的夹角为.选B.]11．(2018·运城模拟)设向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝，a·(a＋b)＝0，则|2a－b|＝()A．2B．2C．4D．4B[ |a|＝1，|a＋b|＝，∴|a＋b|2＝()2⇒a2＋2b·a＋b2＝3，∴2b·a＋b2＝2，又 a·(a＋b)＝0，∴a2＋a·b＝0，a·b＝－a2＝－1，故由2b·a＋b2＝2可得b2＝4，|b|＝2，则|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4＋4＋4＝12，∴|2a－b|＝2，选B.]12．定义区间[a，b]的长度为b－a.若区间是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的一个长度最大的单调减区间，则()A．ω＝8，φ＝B．ω＝8，φ＝－C．ω＝4，φ＝D．ω＝4，φ＝－D[若区间是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的一个长度最大的单调减区间，则函数f(x)的最小正周期为2＝，∴ω＝4，且函数f(x)在x＝时取得最大值，所以f＝sin(π＋φ)＝1，∴π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|＜π，∴φ＝－，故选D.]二、填空题13．(2018·济宁模拟)已知cos＝，则sin2α＝________.－[cos＝(cosα－sinα)＝，∴cosα－sinα＝，平方得1－sin2...
