2.3对定积分概念及几何意义理解不清致误一、易错提醒定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用面积法求积分,对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确．二、典例精析(一)求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角函数、对勾函数等要会求其定积分．当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以先化简,再积分.【例1】【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】．A.B.C.D.【错因分析】本题易出错的原因有两方面,一是不知道如何化简被积函数,求不出原函数,由于被积函数比较复杂,可先化简三角函数式,然后再求定积分.二是对公式的记忆不准确,误以为的原函数是.【答案】C【解析】,故选C．【小试牛刀】【2017河南百校联盟高三理11月质监】曲线直线,以及轴所围成的封闭图形的面积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】所求面积,故选D.(二)不会用面积法求积分根据定积分的几何意义,我们可以用定积分求曲边多边形的面积,反过来,我们也可以通过求曲边多边形的面积来求定积分,特别是被积函数的原函数不易求的,高中阶段一些被积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间.【例2】【2017届四川双流中学高三训练】定积分的值为（）A．B．C．D．【错因分析】由于无法求出的原函数,又不知道利用面积求定积分,导致解题受阻,或忽略y的范围,把定积分的值等同于整个圆的面积.【答案】A【解析】因,令,则,故应选A.【小试牛刀】【2018届湖南省长沙市高三第三次月考】已知展开式的常数项为15，则__________．【答案】(三)对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确．定积分的主要应用是求曲边多边形的面积,其步骤是：（1）画图；（2）求交点坐标,分出函数的上下关系；（3）分割曲边梯形,根据交点坐标,分成几个部分；（4）对每个部分求积分,找出每个部分的面积,然后相加【例3】抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为__________．【错因分析】一是对定积分理解不透彻．不知道面积肯定是正的,而积分可以为任意实数致误；二是对于有交叉的图形,不知道分段处理；对于具有对称性的图形,不善于利用对称性,使问题简化；三是在求面积的时候找不到上下关系,求出的值易出错；四是有些题目让我们求封闭图形的面积,有些同学们误认为坐标轴也是封闭图形的一条线,事实上有些题目的封闭图形中,并不包含坐标轴．【解析】如图所示,所求面积S＝SA＋SB,解方程组得交点坐标为(2,2),(8,－4)．A部分：由于抛物线的上半支方程为y＝,下半支方程为y＝－,所以：SA＝[－(－)]dx＝2xdx＝2·x|＝.B部分：SB＝[4－x－(－)]dx＝|＝.于是S＝＋＝18.【小试牛刀】【2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考】如图所示，曲线和直线及所围成的图形（阴影部分）的面积为__________．【答案】【解析】根据题意得曲线与的交点坐标为 曲线和直线，，所围成的图形（阴影部分）的面积为∴围成的图形的面积为故答案为三、迁移运用1.【2018届湖南省长沙市第二次模拟】若，则__________．【答案】3【解析】，，则.2．【2018届北京市东城区65中学高三上学期期中】定积分__________．【答案】【解析】．3．【2018届湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考】计算______________.【答案】4．【2017届黑龙江虎林一中高三理上学期月考】曲线和曲线围成的图形面积是（）A．B．C.D．【答案】A【解析】由或所求的面积为,故选A.42255()()()5．【2017届山东临沂市高三理上学期期中】已知等差数列的值为A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】,所以,根据等差数列的性质,,故选C.6．由曲线,直线,及...
