高中数学位”突破直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学的重要内容，也是高考数学试题的热点之一；我们对它的认识是：高中数学教材在第八童第三单元抛物线部分用两道例题引入直线与抛物线的位置关系，在本童小结部分有一道直线与抛物线关系的例题，在复习参考题八列出了直线与椭圆、双曲线、抛物线的练习题若干，结论是课文将该部分内容只在例题和复习题中体现；高考大纲没有单列对该项的要求，但是直线与圆锥曲线的关系每年的出题率是。一、目标测试：1、双曲线的半焦距为,直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为，则该双曲线的离心率为．答：+1解析：直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为，则纵坐标为，于是由点在椭圆上有：，整理得得评注：直线与曲线相交，则交点坐标同时适合直线方程和曲线方程。考查学生曲线与直线关系和运算的基本功2、已知直线与抛物线相切，，则，答：解析：对二次函数求导，，则，切点为，代入直线方程得：评注：二次曲线的切线问题，注意与函数的求导相结合。二、能力指标：1、直线与圆锥曲线的位置关系确定途径：一是联立方程组，消元，用二次方程判别式的正负来确定，二是通过直线恒过某定点，该定点与圆锥曲线的关系来确定。如：直线与的位置关系是（）A、相离B、相交C、相切D、不确定。解析：看准直线恒过定点，圆心到点的距离2小于半径3，则点在圆内，直线恒于圆相交。选B。2、直线与圆锥曲线只有一个交点的问题，应全面考虑，如与圆或椭圆只有一个交点，可以从相切角度入手，计算斜率的方法注意用判别式为零或对其求导数两种方法；直线与双曲线只有一个交点有两种可能，即直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行，而直线与抛物线只有一个交点的两种可能，分别是相切和直线平行抛物线的对称轴。3、圆锥曲线的弦的有关问题是高考命题的热点之一，主要涉及两大类题型：弦长问题和弦的中点问题。如椭圆的弦长公式，中点弦问题常用的“点差法”等，都要求学生熟练掌握。4、直线与圆锥曲线的关系问题，要学会运用发散式思维，挖掘题目的潜能，掌握一般性规律，练习做到“以一当十”，提高复习效率。如已知抛物线，过，作直线----第1页※共5页----交抛物线于两点，连结，我们利用m对数量积的结果影响可以讨论的情况。分析：设直线与抛物线交于两点，设直线方程为，联立方程组：消x得:,由于,二次方程的判别式大于零,方程有二异根,则,,=,所以有:于是有结论:结论1：①当时,即直线过点时,则，则为直角.②以弦为直径的圆经过坐标原点．③：当轴时，最小．④：过O点作，垂足为M，则M点必在某一圆周上．结论2:当,则为锐角.结论3:当则为钝角.三、典型题例：例1、如图,直线与双曲线C:的左右两支分别交于、两点,与双曲线C的右准线相交于点,为右焦点,若,又,则实数的值为(A)A.B.C.D.解析：设，，则，，由得，即，则。（1）----第2页※共5页----PyxNMFO又，而P点横坐标为，则；（2）比较（1）（2）可知评注：本题以直线与双曲线相交为背景，考查双曲线的焦半径、有向线段的定比分点等概念，同时考查运算能力。例2、设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.解析：本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组的解.将①代入②并化简得，，所以于是设点P的坐标为则消去参数k得③当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为：解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以----第3页※共5页----①②④⑤④—⑤得，所以当时，有⑥并且⑦将⑦代入⑥并整理得⑧当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为（2）解：由点P的轨迹方程知所以故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为评注：二次方程的根与系数关系和“点差法...
