考点29：直线、平面平行与垂直的判定与性质【考纲要求】1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．4．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．5．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．6．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．7．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．【命题规律】直线与平面平行的判定以及平面与平面平行的判定是高考热点.预测2018年的高考以棱柱、棱锥为载体考查空间中的平行关系.线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质是高考热点，备考时应掌握线面、面面垂直的判定与性质定理，了解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化思想，逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力．【典型高考试题变式】（一）空间点、直线、平面之间的位置关系例1.【2016全国2卷（理）】α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β．②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n．③如果α∥β,mα,⊂那么m∥β．④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）【答案】②③④【方法技巧归纳】点、线、面位置关系常借助直线、平面的平行与垂直的判定定理与性质定理进行推理判断，并且要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【变式1】【改编例题中问法，考查对课本中公理的掌握情况】【2013安徽卷（理）】在下列命题中，不是公理的是（）A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】A选项是证明平面平行的一个定理，而是课本上的公理，体现了高考不脱离课本.【变式2】【改编例题的条件和问法】【2018届广东省珠海一中等六校第一次联考】已知是异面直线，平面，平面，直线满足，且，则（）A.，且B.，且C.与相交，且交线垂直于D.与相交，且交线平行于【答案】D【解析】若,则,与是异面直线矛盾;过点O,分别作，且，则确定一平面，则，设与相交于，则，且,因此,从而，选D.【变式3】【改编例题的条件和问法】【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学第七次模拟考试】在下列命题中，属于真命题的是（）A.直线都平行于平面，则B.设是直二面角，若直线，则C.若直线在平面内的射影依次是一个点和一条直线，（且），则在内或与平行D.设是异面直线，若与平面平行，则与相交【答案】C（二）截面问题例2.【2016全国1卷】平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面，即平面，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为．故选A．ABCDA1B1C1D1EF解法二（原理同解法一）：过平面外一点作平面，并使平面，不妨将点变换成，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面，如图所示，即研究与所成角的正弦值，易知，所以其正弦值为．故选A．D1C1B1A1DCBA【方法技巧归纳】几何体的截面问题主要依据公理3、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理加以解决，有时需要扩充平面，延长直线找交点.【变式1】【改编例题的条件，正方体中动态截面问题】【2013安徽卷】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.①当时，为四边形②当时，为等腰梯形③当时，与的交点满足④当时，为六边形⑤当时，的面积为【答案】①②③⑤【解析】（1），S等腰梯形，②正确，图如下：（2），S是菱形，面积为，⑤正确，图如下：（3），画图...
