高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例（第1课时）解三角形的实际应用举例巩固提升（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第1课时解三角形的实际应用举例[学生用书P83(单独成册)][A基础达标]1．若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则在点A处测得点B的方位角是()A．60°B.120°C．150°D．210°解析：选C.方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．如图所示，点B的方位角是180°－30°＝150°.故选C.2．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A．500米B.600米C．700米D．800米解析：选C.由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，所以AB＝700米，故选C.3．有一坡面长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()A．5mB.10mC．10mD．10m解析：选C.如图，∠BDA＝75°，∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，BD＝10m．由正弦定理，得＝，所以CD＝＝＝10(m)．4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是()A．5海里/时B.5海里/时C．10海里/时D．10海里/时解析：选D.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5海里，所以这艘船的速度是10海1里/时．故选D.5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A．5kmB.10kmC．5kmD．5km解析：选C.作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得＝，即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是5km.6.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3mm，BC＝2mm，AB＝mm，则∠ACB＝________．解析：在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝－.因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.答案：7．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得＝，BC＝＝(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BCsin75°＝×＝(km)．答案：8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________m.解析：设水柱的高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝2100，BC＝h，根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50m.答案：509.如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km，求D，A之间的距离．解：由已知，得CD＝21km，BC＝31km，BD＝20km.在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝－.设∠ADC＝α，则cosα＝，sinα＝.在△ACD中，由正弦定理＝，得＝，所以AD＝sin(60°＋α)＝＝15(km)，即所求的距离为15km.10．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266m，计算气球的高度．解：如图，设CD＝x，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，所以AC＝CD＝x.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CB＝＝x.在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·，所以x＝38(m)．所以气球的高度为38...