高中数学第2章推理与证明2.2.2间接证明自主练习苏教版选修2-2我夯基我达标1.设a、b是异面直线，在a上任取两点A1、A2，在b上任取两点B1、B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线.思路解析：证明异面直线常用反证法.证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线,则A1B1与A2B2确定一个平面α.∴A1、B1、A2、B2∈α.∴A1A2α,B1B2α,即aα,bα.∴a、b共面于α,与a、b是异面直线矛盾.∴假设不成立.∴A1B1与A2B2也是一异面直线.2.设a、b、c都是正数，则三个数()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2思路解析：≥2+2+2=6,当且仅当a=b=c=1时取“=”.答案:C3.求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.思路分析：“至少”问题可用反证法，根据三角形的内角之和为180°解答.证明：假设△ABC的三个内角A、B、C都小于60°,即∠A＜60°，∠B＜60°,∠C＜60°,相加得∠A+∠B+∠C＜180°.这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假定不能成立.∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.4.如图2-2-3所示，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.图2-2-3思路分析：点M不在线段CD上不易证出，可假设M在线段CD上，用反证法证明.证明：假设M在线段CD上，则BD＜BM=CM＜CD，且AB2=BD2+AD2,AC2=AD2+CD2.∴AB2=BD2+AD2＜BM2+AD2＜CD2+AD2=AC2，即AB2＜AC2,AB＜AC.这与AB＞AC矛盾，∴点M不在线段CD上.5.求证：若a≥b＞0,n为正整数，且n≥2，则≥.1思路分析：开方不易运算，可转为乘方运算.证明：假设,则,即a＜b.这与a≥b＞0矛盾，∴≥成立.6.设正实数a、b、c满足a+b+c=1,则a、b、c中至少有一个数不小于______________.思路解析：假设a、b、c中至少有一个数不小于x的反命题成立.假设a、b、c都小于x，即a＜x,b＜x,c＜x,∴a+b+c＜3x.∵a+b+c=1,∴3x＞1.∴x＞,若取x=就会产生矛盾.答案:我综合我发展7.下列命题错误的是()A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间［a、b］上的单调函数f(x)，至多有一个零点D.设a、b∈Z,若a+b是奇数，则a、b中至少有一个是奇数思路解析：逐一用反证法判断.答案:D8.平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.思路分析：命题的结论是以否定形式给出，宜采用反证法.证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形.记这四个点为A、B、C、D，考虑点D在△ABC之内或之外两种情况：(1)如果点D在△ABC之内，由假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾.(2)如果点D在△ABC外，∵∠A、∠B、∠C、∠D都小于90°与四边形ABCD的内角和为360°相矛盾.综上，假设不成立，∴原结论成立.9.已知f(x)=x2+px+q.(1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2;s(2)求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.思路分析：本题可用反证法，借助第(1)问的结论得到矛盾.证明：(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12不成立.则假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于.则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＜2.而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.2与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|＜2相矛盾，故假设不成立.∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.3
