【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学业分层测评苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5，则该抛物线的方程是________．【解析】设抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，设A(m，－3)．由抛物线定义得5＝AF＝，又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9，故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.【答案】y2＝±2x或y2＝±18x2．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB＝4，则焦点到弦AB的距离为________．【解析】由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)2＝4x，∴x＝3，∴直线AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB的距离为2.【答案】23．在抛物线y2＝16x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是________.【导学号：09390047】【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－2)①，由消去x得ky2－16y＋16(1－2k)＝0，∴y1＋y2＝＝2(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，∴k＝8，代入①得y＝8x－15.【答案】y＝8x－154．已知过抛物线Γ：x＝－的焦点F的直线交抛物线Γ于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝－7，则AB的值为________．【解析】因为x＝－，所以y2＝－2x，所以抛物线Γ的准线方程为x＝，根据抛物线的定义知AF＝－x1，BF＝－x2，所以AB＝AF＋BF＝1－(x1＋x2)＝1－(－7)＝8.【答案】85．直线y＝k(x＋1)与抛物线y2＝8x有两个交点，则实数k的取值范围是________．【解析】联立直线与抛物线方程，得所以ky2－8y＋8k＝0.由题意得解得－＜k＜，且k≠0.所以实数k的取值范围是(－，0)∪(0，)．【答案】(－，0)∪(0，)6．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点．若PQ＝QF，则直线PF的方程为________.【导学号：09390048】【解析】抛物线E：y2＝4x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QF＝d. PQ＝QF，∴|PQ|＝|QF|＝d，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.【答案】x＋y－1＝0或x－y－1＝07．如图243是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽_____________m.1图243【解析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2m.【答案】28．设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝2x上的点到A点的距离的最小值为________.【导学号：09390049】【解析】设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2＝x－(a－1)]2＋(2a－1)．因为x∈0，＋∞)，所以当a－1≥0，即a≥1时，d＝2a－1，dmin＝；当a－1<0，即a<1时，当x＝0时，d＝a2，dmin＝|a|.【答案】(a≥1)或|a|(a<1)二、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．【解】设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0(舍)或x＝，∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝＝，又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．【解】(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y22＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则OC＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.能力提升]1．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB...
