第五节数系的扩充与复数的引入【最新考纲】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义.2.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如ɑ＋bi(ɑ，b∈R)的数叫复数，其中ɑ，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则ɑ＋bi为实数，若b≠0，则ɑ＋bi为虚数，若ɑ＝0且b≠0，则ɑ＋bi为纯虚数．(2)复数相等：ɑ＋bi＝c＋di⇔ɑ＝c，b＝d(ɑ，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：ɑ＋bi与c＋di共轭⇔ɑ＝c，b＝－d(ɑ，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ的模r叫做复数z＝ɑ＋bi的模，即|z|＝|ɑ＋bi|＝．2．复数的几何意义复数z＝ɑ＋biＦ―→一一对应复平面内的点Z(ɑ，b)Ｆ―→一一对应平面向量OZ＝(ɑ，b)．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝ɑ＋bi，z2＝c＋di，ɑ，b，c，d∈Rz1±z2＝(ɑ＋bi)±(c＋di)＝(ɑ±c)＋(b±d)i．z1·z2＝(ɑ＋bi)(c＋di)＝(ɑc－bd)＋(bc＋ɑd)i．＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如右图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝1＋i的虚部为i.()(2)若z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)，当ɑ＝0时，z是纯虚数．()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(2015·广东卷)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A．2－3iB．2＋3iC．3＋2iD．3－2i解析： z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i.答案：A3．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由题意知，该复数在复平面内对应的点为(－2，1)，所以该点位于复平面的第二象限．答案：B4．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.D.解析： z(1＋i)＝2i，∴|z|·|1＋i|＝|2i|.∴|z|·＝2.∴|z|＝.答案：C5．(2015·北京卷)复数i(1＋i)的实部为________．解析：因为i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，所以实部为－1.答案：－1一个关键复数分类的关键是抓住z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当ɑ＝0，且b≠0时，z为纯虚数．一个实质复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．一种方法化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．两点注意1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等ɑ＋bi＝c＋di列方程时，注意ɑ，b，c，d∈R的前提条件．一、选择题1．(2015·湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．iB．－iC．1D．－1解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.答案：A2．(2015·山东卷)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i解析：由已知得z＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i.答案：A3．(2015·福建卷)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅解析： A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i，1}，B＝{1，－1}，∴A∩B＝{－1，1}．答案：C4．(2016·郑州一检)设i是虚数单位，若复数m＋(m∈R)是纯虚数，则m的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：由m＋＝m＋3－i为纯虚数，则m＋3＝0，所以m＝－3.答案：A5．在复平面内，复数z和表示的点关于虚轴对称，则复数z＝()A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i解析：由＝－＋i该复数对应的点为，其关于虚轴的对称点为，故复数z＝＋i.答案：A6．设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜0解析：设z＝ɑ＋bi(ɑ，b∈R)，则z2＝ɑ2－b2＋2ɑbi，由z2≥0，得则b＝0，或...
