第三章3.23.2.1A级基础巩固一、选择题1．设y＝e3，则y′等于(C)A．3e2B．e2C．0D．以上都不是[解析]∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．(2020·广西南宁高二检测)若函数f(x)＝x2，则f(x)在x＝1处的导数为(B)A．2xB．2C．3D．4[解析]f′(x)＝2x，∴f(x)在x＝1处的导数为f′(1)＝2.3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有(B)A．1条B．2条C．3条D．不确定[解析]∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．4．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3，其中正确的个数是(B)A．1B．2C．3D．4[解析]②y′＝；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正确的．5．下列结论正确的是(A)A．若y＝sinx，则y′＝cosxB．若y＝cosx，则y′＝sinxC．若y＝，则y′＝D．若y＝，则y′＝[解析]∵B项中，y′＝－sinx；C项中，y′＝－；D项中，y′＝，∴选A．6．(2020·滁州民办高中检测)已知函数h(x)＝，则h′(4)等于(C)A．－B．C．－D．[解析]因为h(x)＝＝4x－，所以h′(x)＝4×(－)x－，h′(4)＝4×(－)×4－＝－.故选C．二、填空题7．已知函数f(x)＝alnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3则a的值为__3__.[解析]f′(x)＝，∵f′(1)＝a，又f′(1)＝3，∴a＝3.8．函数y＝sinπ，则y′＝__0__.[解析]y＝sinπ＝0，∴y′＝0.三、解答题9．求曲线y＝cosx在x＝处的切线方程．[解析]∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.∴曲线y＝cosx在x＝处的切线的斜率k＝－sin＝－.又当x＝时，y＝cos＝，故曲线在x＝处的切线方程为y－＝－(x－)，即y＝－x＋＋.B级素养提升一、选择题1．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为(C)A．1B．－C．D．[解析]∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.2．(2019·全国Ⅱ卷文，10)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(C)A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0[解析]设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C．3．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为(D)A．e2B．2e2C．e2D．[解析]∵y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形面积为×|－e2|×1＝，故选D．4．(多选题)若f(x)＝x5，f′(x0)＝20，则x0的值可为(AB)A．B．－C．－2D．2[解析]函数的导数f′(x)＝5x4，∵f′(x0)＝20，∴5x＝20，得x＝4，则x0＝±，故选AB．5．(多选题)正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点可以为(ABC)A．(，)B．(－，－)或(，)C．(，－)D．(，)[解析]设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－，故选ABC．二、填空题6．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__(1,1)__.[解析]由于(ex)′＝ex，()′＝－，故曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1，设P(x0，)，曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率－，若两直线垂直则有1×(－)＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．7．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则曲线在点P处的切线方程为__x＋y－3＝0__.[解析]设P(x0，y0)，∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8x＝－1.∴x0＝2，y0＝1.∵切线的斜率k＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.三、解答题8．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[解析](1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，∴切线方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.∴其他公共点为(－2，－8)．
