空间向量运算的坐标表示——夹角和距离公式教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用．教学过程：一、复习引入1.向量的直角坐标运算法则：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝上述运算法则怎样证明呢？（将a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可）2.怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）3．练习：（1）与向量（1，-3，2）平行的一个向量的坐标为（C）A．（1，3，2）B．（-1，-3，2）C．（-2，6，-4）D．（1，-3，-2）（2）已知点A（1，2，-1），且向量OC与向量OA关于平面xoy对称，向量OB与向量OA关于平面x轴对称，求向量和向量答案：=（0，4，0）=（0，-4，2）（3）已知向量=（2，-1，3）求一向量，使∥，且∣∣=3∣∣答案：=（6，-3，9）或=（-6，3，5）（4）已知空间三点A（-1，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设=，=，若k+与k-2互相垂直，求k的值。（K=2或k=－）二、新课讲授⒈向量的模：设a＝，b＝，求这两个向量的模.｜a｜＝，｜b｜＝．这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．2.夹角公式推导：∵a·b＝|a||b|cos＜a,b＞∴＝··cos＜a,b＞由此可以得出：cos＜a,b＞＝这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．例1．已知A（1，0，0），B（0，-1，1），与的夹角为120°，求的值（）例2：如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值．分析：如何建系？→点的坐标？→如何用向量运算求夹角？→练习：（1）如图：空间坐标系中，原点O是BC的中点，点A（，D是平面yox上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°，（1）求D点的坐标，（2）求的值。（D（））（2）教材P97面练习第3题3.两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则，其中表示A与B两点间的距离．练习：（1）已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．（答案：(2,,3)；；）说明：⑴中点坐标公式：＝；⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．（2）已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）求△ABC的面积；思考：若△ABC不是直角三角形呢？三.巩固练习作业：《习案》作业三十一第二课时一、练习1．已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2），求分别满足下列条件的点D的坐标。（1）DB∥AC，DC∥AB；（2）DB⊥AC，DC⊥AB且AD=BC。二、例题讲解ACD1D1A1B1COQPACD1D1A1B1COQPABCD1D1A1B1CxyzOEFABCD1D1A1B1CxyzOEF小结：本两节课主要讲：通过空间向量坐标运算求角、求距离、证垂直等在立体几何中的运用。作业：《学案》p84面双基训练。
