第2讲等差数列及其前n项和[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n解析：选A.法一：设等差数列{an}的公差为d，因为所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.法二：设等差数列{an}的公差为d，因为所以解得选项A，a1＝2×1－5＝－3；选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；选项C，S1＝2－8＝－6，排除C；选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.2．(一题多解)(2019·沈阳质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是()A．55B．11C．50D．60解析：选A.通解：设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，故选A.优解：设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，故选A.3．(一题多解)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8解析：选C.法一：等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选C.法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得即解得故选C.4．(2019·广东广州联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2017的值为()A．2018B．4028C．5037D．3019解析：选B.由题意得解得所以an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，所以a2017＝2×2017－6＝4028.故选B.5．(2019·长春质量检测(一))等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为()A．6B．7C．8D．9解析：选C.由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，则a8＝－<0，a9＝>0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝________．解析：＝＝＝.答案：7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________．解析：因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.答案：108．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝________．解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又因为a2a4＝，数列{an}单调递增，所以a2＝，a4＝.所以公差d＝＝.所以a1＝a2－d＝0.答案：09．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}的前三项的和为－9，前三项的积为－15.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.解：(1)设公差为d，则依题意得a2＝－3，则a1＝－3－d，a3＝－3＋d，所以(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，得d2＝4，d＝±2，所以an＝－2n＋1或an＝2n－7.(2)由题意得an＝2n－7，所以|an|＝，①n≤3时，Sn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝n＝6n－n2；②n≥4时，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2.综上，数列{|an|}的前n项和Sn＝.10．已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，故解得即所求m的值为5，k的值为4.[综合题组练]1．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2016＋a2017>0，a2016·a2017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是()A．2016B．2017C．4032D．4033解析：选C.因为a1>0，a2016＋a2017>0，a2016·a2017<0，所以d<0，a2016>0，a2017<0，所以S4032＝＝>0，S4033＝＝4033a2017<0，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4032.2．等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为()A．{1}B.C.D.解析：选B.＝＝，若a1＝d，则＝...
